Дифференциальные уравнения движения. Основное дифференциальное уравнение динамики Общие теоремы динамики

Свободные колебания материальной точки. Влияние постоянной силы на свободное колебание

Свободные колебания (или собственные колебания ) - это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинетической) при отсутствии внешних воздействий

Дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления:

Общее решение этого уравнения имеет вид , где

В случае, когда действующая на материальную точку позиционная сила стремиться вернуть ее в исходное положение, движение точки будет носить колебательный характер. Такую силу принято называть восстанавливающей.

Под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т.е. гармоническое колебательное движение.

Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину ста­тического отклонения .

Движение материальной точки в условиях резонанса

В случае, когда , т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса.

Резонанс - это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Возникает, когда частота собственных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы

Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать

Вынужденные колебания материальной точки при сопротивление пропорциональном скорости.

Вращательное движение

В этом случае . Тогда

– кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Теоре́ма Кёнига

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

T=T0+Tr {\displaystyle {T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,}

Где T - {\displaystyle T} TTTTTTtTTTTtt полная кинетическая энергия системы, {\displaystyle T_{0}}T0 - кинетическая энергия движения центра масс, {\displaystyle T_{r}}Tr - относительная кинетическая энергия системы .

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её сферическом движении относительно центра масс.

Более точная формулировка: полная кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью центра масс плюс кинетическая энергия той же системы в ее относительной системе относительно центра масс

Рисунок 1 - Свободное падение тела.

Так как груз малыми размерами то сопротивление воздуха достаточно мало и энергия на его преодоление мала и ею можно пренебречь. Скорость движения тела не высока и на малом расстоянии не достигает момента, когда она уравновешивается трением о воздух и ускорение прекращается.

В момент столкновения с землей кинетическая энергия максимальна. Так как тело обладает максимальной для него скоростью. А потенциальная энергия равна нулю, так как тело достигло поверхности земли и высота равна нулю. То есть что происходит, максимальная потенциальная энергия в верхней точке, по мере движения переходит в кинетическую, которая в свою очередь достигает максимума в нижней точке. Но сумма всех энергий в системе за время движения остается постоянной. Насколько уменьшилась потенциальная энергия, настолько увеличилась кинетическая.

Идеальные связи

При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция нормальна к поверхности

Идеальными связями называются связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих

Принцип освобождаемости от связей , согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.

Реакция связи Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствующая тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Жесткая заделка

Нахождение реакции жесткой заделки сводится к определению составляющих Х А и Y A препятствующих линейному перемещению балки в плоскости действия сил, и алгебраической величине момента m A , препятствующего вращению балки под действием приложенных к ней сил.

Рис.4

Решение. Эту задачу можно решить известными методами статики, составляя уравнения равновесия. Но при этом придется прежде отыскать усилия в стержнях. Принцип возможных перемещений позволяет найти силу F проще, с помощью общего уравнения статики.

Показываем активные силы и . Даем системе возможное перемещение, повернув стержень АО на угол (рис.66). Так как желоб совершит поступательное движение, то перемещения всех его точек будут одинаковы:

где a =AO=BD.

Составляем уравнение работ: . Угол .

Поэтому получим . Отсюда .

Общее уравнение динамики.

По принципу Даламбера материальную систему, движущуюся под действием некоторых сил, можно рассматривать находящейся в равновесии, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Значит можно воспользоваться и принципом возможных перемещений.

В уравнение работ (1) добавится еще сумма работ сил инерции точек на их возможных перемещениях:

Или по принципу возможных скоростей (2):

Эти уравнения называют общим уравнением динамики . Оно позволяет решать большой класс задач на исследование движения довольно сложных материальных систем.

Уравнения (3) и (4) показывают, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.

Стоит подчеркнуть еще одно важное достоинство этого метода, общего уравнения динамики, – реакции связей (идеальных) исключаются при исследовании движения системы.

Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Законы классической механики. Дифференциальное уравнение движения материальной точки.

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

где ΣX и ΣY – алгебраические суммы проекций сил, действующих на точку, на соответствующие координатные оси; x и y – текущие координаты точки.

С помощью полученных дифференциальных зависимостей решаются две основные задачи динамики:

• по заданному движению точки определяют действующие на нее силы;
• зная действующие на точку силы, определяют ее движение.

Учебное пособие. - Краснодар: Кубанский государственный университет, 2006. - 100 с.: 25 ил.Первая часть курса лекций с заданиями по теоретической механике для физических специальностей классического университетского образования.
Пособие представляет собой вторую часть учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды. Оно содержит конспект лекций трех разделов курса теоретической механики и механики сплошной среды: «Основное дифференциальное уравнение динамики», «Движение в центрально-симметричном поле» и «Вращательное движение твердого тела». Как часть учебно-методического комплекса пособие содержит контрольные задания (варианты контрольных работ) и вопросы итогового компьютерного тестирования (экзамена). Данный курс дополняет электронное учебное пособие с фрагментами лекций (на лазерном диске).
Пособие предназначено для студентов 2-го и 3-го курсов физических и физико-технических факультетов университетов, может быть полезно студентам технических вузов, изучающим основы теоретической и технической механики.Содержание
Основное дифференциальное уравнение динамики (второй закон Ньютона)
Структура раздела
Описание движения материальной точки
Прямая и обратная задачи динамики
Вывод закона сохранения импульса из основного дифференциального уравнения динамики
Вывод закона сохранения энергии из основного дифференциального уравнения динамики
Вывод закона сохранения момента импульса из основного дифференциального уравнения динамики
Интегралы движения

Контрольное задание
Движение в центрально-симметричном поле
Структура раздела
Понятие центрально-симметричного поля
Скорость в криволинейных координатах
Ускорение в криволинейных координатах
Скорость и ускорение в сферических координатах
Уравнения движения в центрально симметричном поле
Секторная скорость и секторное ускорение
Уравнение движения материальной точки в поле тяжести и кулоновском поле
Сведение задачи двух тел к задаче одного тела. Приведенная масса
Формула Резерфорда
Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах
Вращательное движение твердого тела
Структура раздела
Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение
Кинетическая энергия твердого тела
Тензор инерции
Приведение тензора инерции к диагональному виду
Физический смысл диагональных компонент тензора инерции
Теорема Штейнера для тензора инерции
Момент импульса твердого тела
Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат
Углы Эйлера
Движение в неинерциальных системах отсчета
Контрольная работа по теме: Вращательное движение твердого тела
Рекомендуемая литература
Приложение
Приложение
Некоторые основные формулы и соотношения
Предметный указатель

You can write a book review and share your experiences. Other readers will always be interested in your opinion of the books you"ve read. Whether you"ve loved the book or not, if you give your honest and detailed thoughts then people will find new books that are right for them.

N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Краснодар 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r(t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Учебное пособие) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = В.Т. Рыков Рыков В.Т. ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ Учебное пособие Конспект лекций Контрольные задания Вопросы итогового тестирования (комбинированный экзамен) Краснодар 2006 УДК 531.01 ББК 22.25я73 Р 944 Рецензент: Доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой строительной механики Кубанского технологического университета И. М. Дунаев Рыков В. Т. Р 944 Основное дифференциальное уравнение динамики: Учеб. пособие. Краснодар: Кубан. гос. ун-т, 2006. – 100 с. Ил. 25. Библиогр. 6 назв. ISBN Пособие представляет собой вторую часть учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды. Оно содержит конспект лекций трех разделов курса теоретической механики и механики сплошной среды: «Основное дифференциальное уравнение динамики», «Движение в центрально-симметричном поле» и «Вращательное движение твердого тела». Как часть учебно-методического комплекса пособие содержит контрольные задания (варианты контрольных работ) и вопросы итогового компьютерного тестирования (экзамена). Данный курс дополняет электронное учебное пособие с фрагментами лекций (на лазерном диске). Пособие предназначено для студентов 2 и 3-го курсов физических и физико-технических факультетов университетов, может быть полезно студентам технических вузов, изучающим основы теоретической и технической механики. Печатается по решению Совета физико-технического факультета Кубанского государственного университета УДК 531(075.8) ББК 22.25я73 ISBN © Кубанский государственный университет, 2006 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие....................................................................... 6 Глоссарий............................................................................ 8 1. Основное дифференциальное уравнение динамики (второй закон Ньютона) ............................ 11 1.1. Структура раздела................................................ 11 1.2. Описание движения материальной точки.......... 11 1.2.1. Декартова система координат........................ 12 1.2.2. Естественный способ описания движения точки. Сопровождающий трехгранник............................................................ 13 1.3. Прямая и обратная задачи динамики.................. 16 1.4. Вывод закона сохранения импульса из основного дифференциального уравнения динамики................................................................... 21 1.5. Вывод закона сохранения энергии из основного дифференциального уравнения динамики................................................................... 24 1.6. Вывод закона сохранения момента импульса из основного дифференциального уравнения динамики................................................. 26 1.7. Интегралы движения............................................ 27 1.8. Движение в неинерциальных системах отсчета....................................................................... 28 1.9. Контрольное задание............................................ 28 1.9.1. Пример решения задачи.................................. 28 1.9.2. Варианты контрольных заданий.................... 31 1.10. Тесты итогового контроля (экзамена) ................ 35 1.10.1. Поле A ............................................................ 35 1.10.2. Поле B ............................................................ 36 1.10.3. Поле C ............................................................ 36 2. Движение в центрально-симметричном поле........... 38 2.1. Структура раздела................................................ 38 2.2. Понятие центрально-симметричного поля........ 39 3 2.3. Скорость в криволинейных координатах........... 39 2.4. Ускорение в криволинейных координатах........ 40 2.5. Скорость и ускорение в сферических координатах............................................................... 41 2.6. Уравнения движения в центральносимметричном поле.................................................. 45 2.7. Секторная скорость и секторное ускорение...... 46 2.8. Уравнение движения материальной точки в поле тяжести и кулоновском поле.......................... 48 2.8.1. Эффективная энергия...................................... 48 2.8.2. Уравнение траектории..................................... 49 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии....................................................... 51 2.9. Сведение задачи двух тел к задаче одного тела. Приведенная масса.......................................... 52 2.10. Формула Резерфорда............................................ 54 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах............. 58 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах................................ 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий.................. 59 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) ................ 61 2.12.1. Поле A ............................................................ 61 2.12.2. Поле B ............................................................ 62 2.12.3. Поле C ............................................................ 63 3. Вращательное движение твердого тела..................... 65 3.1. Структура раздела................................................ 65 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение........................................ 66 3.3. Кинетическая энергия твердого тела.................. 69 3.4. Тензор инерции..................................................... 71 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду................................................. 72 4 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции.................................... 74 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции........... 76 3.8. Момент импульса твердого тела......................... 78 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат................................................................... 79 3.10. Углы Эйлера.......................................................... 82 3.11. Движение в неинерциальных системах отсчета....................................................................... 86 3.12. Контрольная работа по теме: Вращательное движение твердого тела........................................... 88 3.12.1. Примеры выполнения контрольных заданий.................................................................... 88 3.12.2. Домашнее контрольное задание.................. 92 3.13. Тесты итогового контроля (экзамена) ................ 92 3.13.1. Поле A ............................................................ 92 3.13.2. Поле B ............................................................ 94 3.13.3. Поле C ............................................................ 95 Рекомендуемая литература.............................................. 97 Приложение 1 ................................................................... 98 Приложение 2. Некоторые основные формулы и соотношения............................................................... 100 Предметный указатель................................................... 102 5 ПРЕДИСЛОВИЕ Данная книга представляет собой «твердую компоненту» учебно-методического комплекса по курсу «Теоретическая механика и основы механики сплошной среды», являющегося частью государственного образовательного стандарта по специальностям: «физика» – 010701, «радиофизика и электроника» – 010801. Ее электронная версия (pdf-формат) помещается на сайте Кубанского государственного университета и в локальной сети физикотехнического факультета КубГУ. Всего разработано четыре основных части учебнометодического комплекса по теоретической механике и основам механики сплошной среды. Векторный и тензорный анализ – первая часть комплекса – предназначен для укрепления, а в значительной мере и для формирования базовых знаний в области математических основ не только курса теоретической механики, но всего курса теоретической физики. Собственно курс теоретической механики разбивается на две части, одна из которых содержит изложение методов решения механических задач, исходя из основного дифференциального уравнения динамики – второго закона Ньютона. Вторая часть представляет собой изложение основ аналитической механики (третья часть учебно-методического комплекса). Четвертая часть комплекса содержит основы механики сплошной среды. Каждая часть комплекса и все вместе поддерживаются электронными учебными курсами – видоизменяемыми компонентами, представляющими собой HTML-страницы, дополняемые средствами активного обучения – функциональными элементами обучения. Эти средства помещаются в архивированном виде на сайте КубГУ и распространяются на лазерных дисках, либо прилагаемых к твердой копии, либо отдельно. В отличие от твердой компоненты электронные составляющие будут подвергаться постоянной модификации с целью повышения их эффективности. 6 Основой «твердой компоненты» УМК является конспект лекций, дополненный «глоссарием», разъясняющим базовые понятия данного раздела и алфавитным указателем. После каждого из трех разделов данного пособия предлагается контрольное задание с примерами решения задач. Два контрольных задания данной компоненты выполняются дома – это задания к разделам 2 и 3. задание 3 является общим для всех и представляется преподавателю для проверки в тетрадях для практических занятий. В задании 2 каждым студентом выполняется один из 21 вариантов по указанию преподавателя. Задание 1 выполняется в аудитории в течение одного учебного занятия (пары) на отдельных листочках и сдается для проверки преподавателю. В случае неудачного выполнения задания работа должна быть либо скорректирована студентом (домашние работы), либо выполнена заново с другим вариантом (аудиторные задания). Последние выполняются вне учебного расписания в предложенное преподавателем время. Предлагаемая часть учебного пособия содержит также вспомогательный материал: в приложении 1 представлены компоненты метрического тензора – промежуточные цели контрольной работы 3, а в приложении 2 – основные формулы и соотношения, запоминание которых обязательно для получения удовлетворительной оценки на экзамене. Каждый раздел каждой части пособия заканчивается тестовыми задачами – составной частью комбинированного экзамена, основой которого является компьютерное тестирования с параллельным заполнение предлагаемых бланков и последующего собеседования на основе оценок компьютера и бланка тестирования. Поле «B» теста предполагает краткую запись в бланке математических преобразований, приводящих к выбранному в наборе ответов варианту. В поле «С» следует записать в бланк все вычисления, а численный ответ набрать на клавиатуре. 7 ГЛОССАРИЙ Аддитивная величина – физическая величина, значение которой для всей системы равно сумме ее значений для отдельных частей системы. Вращательное движение – движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю. Вторая космическая скорость – стартовая скорость с не вращающейся планеты, выводящая космический аппарат на параболическую траекторию. Импульс материальной точки – произведение массы точки на ее скорость. Импульс системы материальных точек – аддитивная величина, определяемая как сумма импульсов всех точек системы. Интегралы движения – сохраняющиеся при определенных условиях величины, полученные в результате однократного интегрирования основного дифференциального уравнения динамики – системы уравнений второго порядка. Кинетическая энергия материальной точки – энергия движения, равная работе, необходимой для сообщения данной точке определенной скорости. Кинетическая энергия системы материальных точек – аддитивная величина, определяемая как сумма энергий всех точек системы. Ковариантные компоненты вектора – коэффициенты разложения вектора по векторам взаимного базиса. Коэффициенты аффинной связности – коэффициенты разложения производных от векторов базиса по координатам по векторам самого базиса. Кривизна кривой – величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности. Мгновенный центр скоростей – точка, скорость которой равна нулю в данный момент времени. 8 Механическая работа постоянной силы – скалярное произведение силы на перемещение. Механическое движение – изменение положение тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Обратная задача динамики – по заданным силам (известным функциям координат, времени и скорости) найти уравнения движения материальной точки. Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно себе. Потенциальная энергия материальной точки – энергия полевого взаимодействия тел или частей тела, равная работе сил поля по перемещению данной материальной точки из данной точки пространства на нулевой потенциальный уровень, выбираемый произвольно. Приведенная масса – масса гипотетической материальной точки, к движению которой в центрально-симметричном поле сводится задача двух тел. Прямая задача динамики – по заданным уравнениям движения определить силы, действующие на материальную точку. Символы Кристоффеля – симметричные коэффициенты аффинной связности. Система центра масс (центра инерции) – Система отсчета, в которой импульс механической системы равен нулю. Скорость – векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени. Соприкасающаяся окружность – окружность, имеющая с кривой соприкосновение второго порядка, т.е. с точностью до бесконечно малых второго порядка уравнения кривой и соприкасающейся окружности в окрестности данной точки неотличимы друг от друга. 9 Сопровождающий трехгранник – тройка единичных векторов (касательный, вектор нормали и бинормали), используемых для введения сопровождающей точку декартовой системы координат. Твердое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. Тензор инерции – симметричный тензор второго ранга, компоненты которого определяют инерционные свойства твердого тела по отношению к вращательному движению. Траектория – след движущейся точки в пространстве. Уравнения движения – уравнения, определяющие положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Ускорение – векторная величина, численно равная изменению скорости в единицу времени. Ускорение нормальное – ускорение, перпендикулярное скорости, равное центростремительному ускорению при движении точки с данной скоростью по соприкасающейся с траекторией окружности. Центрально-симметричное поле – поле, в котором потенциальная энергия материальной точки зависит только от расстояния r до некоторого центра «O». Энергия – способность тела или системы тел совершать работу. 10 1. ОСНОВНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ (ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА) 1.1. Структура раздела «traces» «facade» Прямая и обратная задачи динамики «facade» Описание движения материальной точки «traces» «traces» «traces» «facade» Закон сохранения импульса «facade» Естественное уравнение кривой «traces» «facade» Контрольная работа «traces» «facade» Тесты итогового контроля «facade» Закон сохранения энергии «traces» «traces» «facade» Векторная алгебра «traces» «traces» «facade» Закон сохранения момента импульса Рисунок 1 – Основные элементы раздела 1.2. Описание движения материальной точки Механическое движение определяется как изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Это определение ставит две задачи: 1) выбор метода, с помощью которого можно было бы отличить одну точку пространства от другой; 2) выбор тела, относительно которого определяется положение других тел. 11 1.2.1. Декартова система координат Первая задача ассоциируется с выбором системы координат. В трехмерном пространстве каждой точке пространства ставятся в соответствие три числа, называемые координатами точки. Наиболее наглядными являются прямоугольные ортогональные координаты, которые принято называть декартовыми (по имени французского ученого Рене Декарта). 1 Рене Декарт первым ввел понятие масштаба, которое и лежит в основе построения декартовой системы координат. В некоторой точке трехмерного пространства строятся три взаимно ортогональных, одинаковых по величине вектора i , j , k , которые одновременно являются масштабными единицами, т.е. их длина (модуль) по определению равен единице измерения. Вдоль этих векторов направляются числовые оси, точки на которых ставятся в соответствие точкам пространства путем «проецирования» – проведения перпендикуляра от точки до числовой оси, как это показано на рисунке 1. Операция проецирования в декартовых координатах приводит к сложению векторов ix, jy и kz по правилу параллелограмма, который в данном случае вырождается в прямоугольник. В результате положение точки в пространстве можно определять с помощью вектора r = ix + jy + kz , называемого «радиус-вектором», т.к. в отличие от других векторов начало этого вектора всегда совпадает с началом координат. Изменение положения точки в пространстве с течением времени приводит к появлению зависимости от времени координат точки x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Латинизированное имя Рене Декарта – Картезий (Cartesius), поэтому в литературе можно встретить название «картезианские координаты». 12 и радиус-вектора r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Эти функциональные соотношения носят название уравнений движения в координатной и векторной формах, соответственно z kz k r jy i y j ix x Рисунок 2 – Декартова система координат Скорость и ускорение точки определяются как первая и вторая производные по времени от радиус-вектора v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Везде в дальнейшем точка и двойная точка над обозначением некоторой величины будет обозначать первую и вторую производную от этой величины по времени. 1.2.2. Естественный способ описания движения точки. Сопровождающий трехгранник Уравнение r = r (t) называют обычно уравнением кривой в параметрической форме. В случае уравнений движения параметром является время. Так как всякое движение 13 происходит вдоль некоторой кривой, называемой траекторией, то с этим движением связывается и отрезок траектории (путь) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 являющийся монотонной функцией времени. Путь, пройденный телом, можно рассматривать как новый параметр, который принято называть «естественным» или «каноническим» параметром. Соответствующее уравнение кривой r = r (s) называется уравнением в канонической или естественной параметризации. τ m n Рисунок 3 – Сопровождающий трехгранник Вектор dr ds представляет собой вектор, касательный к траектории (рисунок 3), длина которого равна единице, т.к. dr = ds . Из τ= 14 dτ перпендикуляds рен вектору τ , т.е. направлен по нормали к траектории. Чтобы выяснить физический (а, точнее, как мы увидим позже, геометрический) смысл этого вектора, перейдем к дифференцированию по параметру t, рассматривая его как время. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Последнее из этих соотношений можно переписать следующим образом a 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 условия τ 2 = 1 следует, что вектор τ′ = где v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – вектор полноdt 2 го ускорения. Т. к. полное ускорение равно сумме нормального (центростремительного) и касательного ускорений, то рассматриваемый нами вектор равен вектору нормального ускорения, деленному на квадрат скорости. При движении по окружности нормальное ускорение равно – касательное ускорение, а вектор a = an = n v2 , R где n – вектор нормали к окружности, а R – радиус окружности. Отсюда следует, что вектор τ′ можно представить в виде τ′ = Kn , 1 где K = – кривизна кривой – величина, обратная радиуR су соприкасающейся окружности. Соприкасающейся окружностью называется кривая, имеющая с данной кривой 15 соприкосновение второго порядка. Это значит, что, ограничиваясь в разложении уравнения кривой в степенной ряд в некоторой точке бесконечно малыми второго порядка, мы не сможем отличить данную кривую от окружности. Вектор n иногда называют вектором главной нормали. Из касательного вектора τ и вектора нормали можно построить вектор бинормали m = [ τ, n ] . Три вектора τ , n и m образуют правую тройку – сопровождающий трехгранник, с которым можно связать сопутствующую точке декартову систему координат, как это показано на рисунке 3. 1.3. Прямая и обратная задачи динамики В 1632 году был открыт Галилео Галилеем, а затем в 1687 году сформулирован Исааком Ньютоном закон, перевернувший взгляды философов на методы описания движения: «Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят изменить его это состояние». 1 Значение этого открытия трудно переоценить. До Галилея философы считали, что основной характеристикой движения является скорость, и, чтобы тело двигалось с постоянной скоростью, необходимо прикладывать постоянную силу. В самом деле, опыт, кажется, свидетельствует именно об этом: прикладываем силу – тело движется, престали прикладывать – тело остановилось. И только Галилей заметил, что, прикладывая силу, мы на самом деле только уравновешиваем, действующую в реальных условиях на Земле помимо нашего желания (а часто и наблюдения) силу трения. Следовательно, сила нужна не для того, чтобы поддерживать скорость постоянной, а для того, чтобы изменять ее, т.е. сообщать ускорение. 1 И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. 16 Правда в условиях Земли реализовать наблюдение за телом, на которое не действовали бы другие тела, невозможно, поэтому механика вынуждена постулировать существование специальных систем отсчета (инерциальных), в которых и должен выполняться первый закон Ньютона (Галилея).1 Математическая формулировка первого закона Ньютона требует дополнения утверждения пропорциональности силы ускорению утверждением их параллельности как величин векторных?какой F ∼W ⎫ F скаляр ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ где Δv d v d dr = = ≡r . Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Опыт подсказывает нам, что скалярным коэффициентом может быть величина, которую принято называть массой тела. Таким образом, математическое выражение первого закона Ньютона с учетом дополнения его новыми постулатами принимает вид F = mW , 1 Вот только с какими реальными телами можно было бы связать такую систему отсчета до сих пор не ясно. Гипотеза эфира (см. «Теория относительности») могла бы решить эту проблему, но отрицательный результат опыта Майкельсона исключил такую возможность. Тем не менее, механика нуждается в таких системах отсчета и постулирует их существование. 17 который известен как второй закон Ньютона. Так как ускорение определено для данного конкретного тела, на которое может действовать несколько сил, то второй закон Ньютона удобно записывать в форме n mr = ∑ Fa = F (t , r (t), r (t)) . a =1 Сила в общем случае при этом рассматривается как функция координат, скоростей и времени. От времени эта функция зависит как явно, так и неявно. Неявная зависимость от времени означает, что сила может изменяться вследствие изменения координат (сила зависит от координат) и скорости (сила зависит от скорости) движущегося тела. Явная же зависимость от времени говорит о том, что, если тело покоится в данной фиксированной точке пространства, то сила все равно изменяется с течением времени. Второй закон Ньютона с точки зрения математики порождает две задачи, связанные с двумя взаимно обратными математическими операциями: дифференцирования и интегрирования. 1. Прямая задача динамики: по заданным уравнениям движения r = r (t) определить силы, действующие на материальную точку. Эта задача является задачей фундаментальной физики, ее решение направлено на поиск новых законов и закономерностей, описывающих взаимодействие тел. Примером решения прямой задачи динамики является формулировка И. Ньютоном закона всемирного тяготения на основе эмпирических законов Кеплера, описывающих наблюдаемое движение планет Солнечной системы (см. раздел 2). 2. Обратная задача динамики: по заданным силам (известным функциям координат, времени и скорости) найти уравнения движения материальной точки. Это задача прикладной физики. С точки зрения этой задачи второй 18 закон Ньютона представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка d 2r m 2 = F (t , r (t), r (t)) , (1.1) dt решения которых являются функциями времени и постоянных интегрирования. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). Чтобы из бесконечного множества решений выбрать решение, соответствующее конкретному движению, необходимо систему дифференциальных уравнений дополнить начальными условиями (задача Коши) – задать в некоторый момент времени (t = 0) значения координат и скоростей точки: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0). ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Замечание 1. В законах И. Ньютона сила понимается как величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого тела деформируются, или приобретают ускорение. Однако часто бывает удобно свести задачу динамики к задаче статики, введя, как это сделал Даламбер (D’Alambert) в своем «Рассуждении об общей причине ветров» (1744 г.), силу инерции, равную произведению массы тела на ускорение системы отсчета, в которой рассматривается данное тело. Формально это выглядит как перенос правой части второго закона И. Нью19 тона в левую часть и присвоение этой части имени «сила инерции» F + (− mW) = 0, или F + Fин = 0 . Получившаяся в результате сила инерции, очевидно, не удовлетворяет определению силы, данному выше. В связи с этим силы инерции часто называют «фиктивными силами», понимая при этом, что как силы они воспринимаются и измеряются только неинерциальным наблюдателем, связанным с ускоренно движущейся системой отсчета. Следует, однако, подчеркнуть, что для неинерциального наблюдателя силы инерции воспринимаются как реально действующие на все тела системы отсчета силы. Именно наличием этих сил «объясняется» равновесие (невесомость) тел в постоянно падающем спутнике планеты и (частично) зависимость ускорения свободного падения на Земле от широты местности. Замечание 2. Со вторым законом Ньютона как системой дифференциальных уравнений второго порядка связана также задача однократного интегрирования этих уравнений. Полученные таким образом величины носят названия интегралы движения и самыми важными являются два, связанных с ними обстоятельства: 1) эти величины являются аддитивными (addition – сложение), т.е. такая величина для механической системы представляет собой сумму соответствующих величин для отдельных ее частей; 2) при определенных физически понятных условиях эти величины не изменяются, т.е. сохраняются, выражая тем самым, законы сохранения в механике. 20 1.4. Вывод закона сохранения импульса из основного дифференциального уравнения динамики Рассмотрим систему N материальных точек. Пусть «a» – номер точки. Запишем для каждой точки «a» II закон Ньютона dv (1.2) ma a = Fa , dt где Fa – результирующая всех сил, действующих на точку «a». Учитывая, что ma = const, умножая на dt, складывая все N уравнений (1.2) и интегрируя в границах от t до t + Δt, получим N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = где v a t +Δt N ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) – скорость точки «a» в момент времени t, а ua = ra (t + Δt) – скорость точки «a» в момент времени t + Δt. Представим далее силы, действующие на точку «a» в виде суммы внешних Faex (exterior – внешний) и внутренних Fain (interior – внутренний) сил Fa = Fain + Faex . Внутренними мы будем называть силы взаимодействия точки «a» с другими точками, включенными нами в СИСТЕМУ, внешними – с точками, не включенными нами в систему. Покажем, что сумма внутренних сил обращается в нуль в силу третьего закона Ньютона: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению Fab = − Fab , если точки «a» и «b» принадлежат СИСТЕМЕ. В самом деле, сила, действующая на точку «a» со стороны других точек системы, равна 21 N Fain = ∑ Fab . b =1 Тогда N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Таким образом, сумма всех сил, действующих на систему материальных точек, вырождается в сумму только внешних сил. В результате получаем N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt . (1.3) – изменение импульса системы материальных точек равно импульсу внешних сил, действующих на систему. Система называется замкнутой, если на нее не дейстN вуют внешние силы ∑F a =1 = 0 . В этом случае импульс ex a системы не изменяется (сохраняется) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Обычно именно это утверждение трактуют как закон сохранения импульса. Однако и в обыденной речи под сохранением чего-то мы понимаем не утверждение неизменяемости содержания этого чего-то в чем-то другом, а понимание того, во что превратилось это исходное что-то. Если деньги потрачены на приобретение полезной вещи, то они не исчезли, а преобразились в эту вещь. А вот если их покупательная способность сократилась вследствие инфляции, то проследить цепочку превращений оказывается весьма сложно, что и создает ощущение не сохранения. Результат измерения импульса, как и всякой кинематической величины, зависит от системы отсчета, в которой производятся измерения (расположены физические приборы, измеряющие эту величину). 22 Классическая (нерелятивистская) механика, сравнивая результаты измерений кинематических величин в разных системах отсчета, молчаливо исходит из предположения, что понятие одновременности событий не зависит от системы отсчета. В силу этого соотношение между координатами, скоростями и ускорениями точки, измеряемыми неподвижным и движущимся наблюдателем, являются геометрическими соотношениями (рисунок 4) dr du Скорость u = = r и ускорение W = = u , измеdt dt ряемые наблюдателем K принято называть абсолютными dr ′ скоростью и ускорением. Скорость u′ = = r ′ и ускореdt du′ ние W ′ = = u ′ , измеряемые наблюдателем K′ – относиdt тельными скоростью и ускорением. А скорость V и ускорение A системы отсчета – переносными. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Рисунок 4 – Сравнение измеряемых величин Используя закон преобразования скорости, который часто называют теоремой сложения скоростей Галилея, получим для импульса системы материальных точек, измеренного в системах отсчета K и K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Система отсчета, в которой импульс механической системы равен нулю 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a называется системой центра масс или центра инерции. Очевидно, что скорость такой системы отсчета равна N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 Так как в отсутствие внешних сил импульс механической системы не изменяется, то и скорость системы центра масс также не изменяется. Интегрируя (1.5) по времени, воспользовавшись произвольностью выбора начала координат (постоянную интегрирования полагаем равной нулю), приходим к определению центра масс (центра инерции) механической системы N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1.6) a 1.5. Вывод закона сохранения энергии из основного дифференциального уравнения динамики Рассмотрим систему N материальных точек. Запишем для каждой точки «a» II закон Ньютона (1.2) и умножим dr обе части скалярно на скорость точки va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ После преобразований, умножая обе части на dt, интегрируя в границах от t1 до t2 и полагая, что ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1) , ua = va (t2) , получаем 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) . a a (1.7) ra Далее представим силу Fa в виде суммы потенциальных и диссипативных сил Fa = Faпот + Faд. Диссипативными (dissipation – рассеяние) называются силы, приводящие к рассеянию механической энергии, т.е. переходу ее в другие виды энергии. Потенциальными называются силы, работа которых по замкнутому контуру равна нулю. A = ∫ (Faпот, dra) = 0 . (1.8) L Покажем, что потенциальное поле является градиентным, т.е. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Faпот = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa В самом деле, в соответствие с теоремой Стокса можно записать пот пот ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa , ds) , L S где S – поверхность, натянутая на контур L рисунок 5. S L Рисунок 5 – Контур и поверхность Теорема Стокса приводит к доказательству справедливости (1.9) в силу очевидного соотношения rot Faпот = ⎣⎡∇, Faпот ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 т.е., если векторное поле выражается через градиент скалярной функции, то его работа по замкнутому контуру с необходимостью равна нулю. Справедливо и обратное утверждение: если циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна нулю, то всегда можно найти соответствующее скалярное поле, градиентом которого является данное векторное поле. С учетом (1.9) соотношение (1.7) можно представить в виде R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Всего мы имеем N таких уравнений. Складывая все эти уравнения, получим закон сохранения энергии в классической механике 1: изменение полной механической энергии системы равно работе диссипативных сил ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a a + Π a (ra) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () Если диссипативные силы отсутствуют, полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия механической системы не изменяется (“консервируется”) и система называется консервативной. 1.6. Вывод закона сохранения момента импульса из основного дифференциального уравнения динамики Рассмотрим систему N материальных точек. Запишем для каждой точки «a» II закон Ньютона (1.2) и умножим обе части слева векторно на радиус-вектор точки ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 Такое представление о превращениях механической энергии оказывается адекватным объективной реальности лишь до тех пор, пока мы рассматриваем явления, не сопровождающиеся превращением вещественной материи в полевую и обратно. 26 Величина K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) называется моментом силы Fa относительно начала координат. В силу очевидного соотношения d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎢ ⎥ dt dt ⎦ ⎣ dt dt ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ d ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = Ka . dt Как и прежде число таких уравнений – N, и складывая их, получим dM =K, (1.12) dt где аддитивная величина N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 называется моментом импульса механической системы. Если момент сил, действующих на систему, равен нулю, то момент импульса системы сохраняется N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Интегралы движения Рассмотренные в пунктах 1.4–1.6 сохраняющиеся при определенных условиях величины: импульс, энергия и момент импульса получены в результате однократного интегрирования основного дифференциального уравнения динамики – уравнения движения, т.е. являются первыми интегралами дифференциальных уравнений второго порядка. В силу этого все эти физические величины принято называть интегралами движения. Позже в разделе, посвященном изучению уравнений Лагранжа второго рода (уравнения, в которые преобразу27 ется второй закон Ньютона в конфигурационном пространстве) мы покажем, что интегралы движения можно рассматривать как следствия свойств ньютоновского пространства и времени. Закон сохранения энергии является следствием однородности временной шкалы. Закон сохранения импульса вытекает из однородности пространства, а закон сохранения момента импульса – из изотропии пространства. 1.8. Движение в неинерциальных системах отсчета 1.9. Контрольное задание 1.9.1. Пример решения задачи Найти уравнения движения точки под действием силы притяжения к центру С1 и силы отталкивания о центра С2, пропорциональных расстояниям до центров. Коэффициенты пропорциональности равны соответственно k1m и k2m, где m – масса точки М. Координаты центров в произвольный момент времени определяются соотношениями: X1(t) = aсosωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. В начальный момент времени точка имела координаты x = a; y = 0; z=0 и скорость с компонентами vx = vy = vz =0. Решить задачу при условии k1 > k2. Движение материальной точки под действие двух сил F1 и F 2 (рисунок 5) определяется основным дифференциальным уравнением динамики – вторым законом Ньютона: mr = F1 + F2 , где две точки над символом означают повторное дифференцирование по времени. По условию задачи силы F1 и F2 определяются соотношениями: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2 . Искомой величиной является радиус-вектор точки М, поэтому векторы r1 и r2 следует выразить через радиусвектор и известные векторы R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin ωt + k ch λt и R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k ch λt , где i , j , k – векторы базиса декартовой системы координат. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 “О” – начало координат, R1 и R2 – радиусы-векторы притягивающего и отталкивающего центров, r – радиус-вектор точки М, r1 и r2 – векторы, определяющие положение точки М относительно центров. Рисунок 6 – Точка M в поле двух центров Из рисунка 6 получаем r1 = r − R1 ; r2 = r − R2 . Подставляя все эти соотношения во второй закон Ньютона, и деля обе части уравнения на массу т, получим неодно29 родное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Так как по условию задачи k1 > k2, то имеет смысл ввести обозначение – положительную величину k2 = k1 – k2. Тогда полученное дифференциальное уравнение принимает вид: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt . Решение этого уравнения следует искать в виде суммы общего решения ro однородного уравнения ro + k 2 ro = 0 и частного решения rч неоднородного уравнения r = ro + rч. Для построения общего решения составляем характеристическое уравнение λ2 + k2 = 0, корни которого являются мнимыми: λ1,2 = ± ik, где i = −1 . В силу этого общее решение однородного уравнения следует записать в виде r = A cos kt + B sin kt , где А и B векторные постоянные интегрирования. Частное решение можно найти по виду правой части, введя неопределенные коэффициенты α1 , α 2 , α 3 rч = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt , rч = −ω2α1 cos ωt − ω2α 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Подставляя это решение в неоднородное уравнение, и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях времени в левой и правой частях уравнений, получим систему уравнений, определяющую неопределенные коэффициенты: α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2 . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k ch λt. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которые можно записать в векторной форме: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . Для определения постоянных интегрирования необходимо знать скорость точки в произвольный момент времени ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sh λt. k + λ2 Подставив в найденное решение начальные условия, получим (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω Найдем отсюда постоянные интегрирования и подставим их в уравнение в уравнения движения k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt). ω k + λ2 Это выражение представляет собой искомые уравнения движения в векторной форме. Эти уравнения движения, как и весь процесс их поиска можно записать в проекциях на оси декартовой системы координат. + 1.9.2. Варианты контрольных заданий Найти уравнения движения материальной точки под действием силы притяжения к центру О1 и силы отталкивания от центра О2. Силы пропорциональны расстояниям до центров, коэффициенты пропорциональности равны k1m и k2m, соответственно, где т – масса точки. Координаты 31 центров, начальные условия и условия, накладываемые на коэффициенты, приведены в таблице. В первой колонке указан номер варианта. В нечетных вариантах считать k1 > k2, в нечетных – k2 > k1. Варианты контрольных заданий приведены в таблице 1. Во втором и третьем столбцах приведены координаты притягивающего и отталкивающего центра в произвольный момент времени t. Последние шесть столбцов определяют начальные координаты материальной точки и компоненты ее начальной скорости, необходимые для определения постоянных интегрирования. Таблица 1. Варианты контрольной работы 1. Величины а, b, c, R, λ и ω – постоянные величины Вариант 1 1 Координаты центра О1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + ch λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt ; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt ; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; Начальные значения Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Координаты центра О2 Y2 = Y1 + ash λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Продолжение таблицы 1 1 6 7 2 X 1 = ash λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt ; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct ; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt . 8 4 X 1 = ash λt ; X 2 = X 1 + RCosωt ; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3 ; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt . 11 X 1 = a + bt 2 ; Y1 = ach λt ; Z1 = ash λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. X 2 = X1 ; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = ash λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt ; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 . X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct ; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Окончание таблицы 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = ash λt ; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 . X 1 = R cos ωt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1 ; Z1 = a + bt . Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X 2 = X 1 + ash λt ; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = a sin ωt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X 2 ; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = ashλt ; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 а 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4 . Z 2 = 0. X 1 = ashλt ; X 2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct ; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 а a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Литература к контрольному заданию 1. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986. С. 202. (Задачи № 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63). 2. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М., 1974. С. 43 – 63. 34 1.10. Тесты итогового контроля (экзамена) 1.10.1. Поле A А.1.1. Основное дифференциальное уравнение динамики материальной точки имеет вид … А.1.2. Решить прямую задачу динамики – это значит … А1.3. Решить обратную задачу динамики – это значит … А.1.5. Сумма внутренних сил, действующих на систему материальных точек, обращается в нуль в силу... А.1.6. Импульс силы – это … А.1.7. Системой центра инерции называется система отсчета, в которой А.1.8. Центр масс это … А.1.9. Координаты центра масс определяются формулой А.1.10. Скорость системы центра инерции определяется формулой … А.1.11. Закон сохранения импульса системы материальных точек в наиболее общей его форме записывается в виде … А.1.12. Потенциальное силовое поле определяется соотношением … (основное определение) А.1.13. Потенциальное силовое поле определяется соотношением … (следствие основного определения) А.1.14. Если поле F – потенциальное, то … А.1.15. Моментом импульса системы материальных точек называется величина … А.1.16. Момент сил, действующих на механическую систему можно определить соотношением … А.1.17. Если момент сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то сохраняется … А.1.18. Если сумма внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то сохраняется … А.1.19. Если на механическую систему не действуют диссипативные силы, то сохраняется … А.1.20. Механическая система называется замкнутой, если 35 1.10.2. Поле B ua B.1.1. Результатом вычисления интеграла ∑ ∫ d (m d v) a a a va является выражение … B.1.2. Импульс механической системы в системе отсчета K связан с импульсом движущейся относительно нее со скоростью V системы отсчета K′ соотношением … B.1.3. Если F = −∇Π , то … B.1.4. Работа силы F = −∇Π по замкнутому контуру обращается в нуль в силу … d va2 B1.5. Производная по времени равна … dt B.1.6. Производная по времени от момента импульса d равна … dt 1.10.3. Поле C С.1.1. Если точка массой m движется так, что в момент времени t ее координаты равны x = x(t), y = y(t), z = z (t) , то на нее действует сила F , компонента Fx (Fy, Fz) которой равна … С.1.2. Если точка движется под действием силы kmr и, если при t = 0 она имела координаты (м) {x0, y0, z0} и скорость (м/с) {Vx, Vy, Vz}, то в момент t = t1 c ее координата x будет равна …(м) С.1.3. В вершинах прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и c расположены точечные массы m1, m2, m3 и m4. Найдите координату (xc, yc, zc) центра инерции. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Рисунок 7 – К заданию С.1.3 С.1.4. Плотность стержня длиной изменяется по закону ρ = ρ(x). Центр масс такого стержня находится от начала координат на расстоянии … С.1.5. Сила F = {Fx , Fy , Fz } приложена к точке с координатами x = a, y = b, z = c. Проекции момента этой силы относительно начала координат равны … 37 2. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОСИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 2.1. Структура раздела «uses» Скорость и ускорение в криволинейных координатах Тензорный анализ «traces» «uses» Интегралы движения ОУД «traces» «uses» Секторная скорость Векторное произведение «traces» «uses» Уравнение траектории Определенный интеграл «traces» «uses» «uses» Формула Резерфорда Стерадиан Рисунок 8 – Структура раздела «центрально-симметричное поле 38 2.2. Понятие центрально-симметричного поля Назовем центрально-симметричным такое поле, в котором потенциальная энергия материальной точки зависит только от расстояния r до некоторого центра “O”. Если в точке “O” поместить начало декартовой системы координат, то таким расстоянием будет модуль радиус-вектора точки, т.е. П = П(r), r = x 2 + y 2 + z 2 . В соответствии с определением потенциального поля на точку действует сила ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er . ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r В таком поле эквипотенциальные поверхности П(r) = const совпадают с координатными поверхностями r = const в сферических координатах. Сила (2.1), которая в декартовых координатах имеет три отличные от нуля компоненты, в сферических координатах имеет только одну не нулевую компоненту – проекцию на вектор базиса er . Все вышесказанное заставляет обратиться к сферическим координатам, симметрия которых совпадает с симметрией физического поля. Сферические координаты являются частным случаем ортогональных криволинейных координат. 2.3. Скорость в криволинейных координатах Пусть xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) – декартовы координаты, а ξ = ξi(xk) – криволинейные координаты – взаимно однозначные функции декартовых координат. По определению вектор скорости dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt где векторы ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 образуют так называемый координатный (или голономный, или интегрируемый) базис. Квадрат вектора скорости равен v 2 = (ei , e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j . Величины ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j j j ⎝ ∂ξ ∂ξ ⎠ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ представляют собой ковариантные компоненты метрического тензора. Кинетическая энергия материальной точки в криволинейных координатах принимает вид mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2.5) 2 2 2.4. Ускорение в криволинейных координатах В криволинейных координатах от времени зависят не только координаты движущейся точки, но и векторы движущегося вместе с ней базиса, коэффициенты разложения по которым являются измеряемыми компонентами скорости и ускорения. В силу этого в криволинейных координатах дифференцированию подлежат не только координаты точки, но и векторы базиса dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i . (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt По правилу дифференцирования сложной функции dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Производная от вектора по координате также является век∂ei тором, поэтому каждый из девяти векторов может ∂ξ j быть разложен по векторам базиса ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Коэффициенты разложения Γijk называются коэффициентами аффинной связности. Пространства, в которых коэффициенты аффинной связности определены, называются пространствами аффинной связности. Пространства, в которых коэффициенты аффинной связности равны нулю, называются аффинными пространствами. В аффинном пространстве в самом общем случае могут быть введены только прямолинейные косоугольные координаты с произвольными масштабами вдоль каждой из осей. Векторы базиса в таком пространстве одинаковы во всех его точках. Если выбран координатный базис (2.3), то коэффициенты аффинной связности оказываются симметричными по нижним индексам и в этом случае они называются символами Кристоффеля. Символы Кристоффеля могут быть выражены через компоненты метрического тензора и их производные по координатам ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Величины gij представляют собой контравариантные компоненты метрического тензора – элементы матрицы, обратной gij. Коэффициенты разложения вектора ускорения по векторам основного базиса Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt представляют собой контравариантные компоненты вектора ускорения. 2.5. Скорость и ускорение в сферических координатах Сферические координаты ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ связаны с декартовыми координатами x, y и z следующими соотношениями (рисунок 9): x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ. 41 z θ у r ϕ х х Рисунок 9 – Связь декартовых координат х, у, z со сферическими координатами r, θ, ϕ. Компоненты метрического тензора найдем, подставив эти соотношения в выражение (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ g11 = 1 1 + 1 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g 22 = 2 2 + 2 2 + 2 2 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r2; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю, т.к. сферические координаты – ортогональные кри42 волинейные координаты. В этом можно убедиться путем непосредственных вычислений или путем построения касательных к координатным линиям базисных векторов (рисунок 10). er eϕ θ eθ Рисунок 10 – Координатные линии и базисные векторы в сферических координатах Помимо основного и взаимного базисов часто используется так называемый физический базис – единичные векторы, касательные к координатным линиям. В этом базисе физическая размерность компонент вектора, которые также принято называть физическими, совпадает с размерностью его модуля, что и обуславливает название базиса. Подставляя полученные компоненты метрического тензора в (2.5), получим выражение для кинетической энергии материальной точки в сферических координатах 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θϕ2 . 2 2 Так как сферические координаты отражают симметрию центрально-симметричного поля, то выражение (2.10) используется для описания движения материальной точки в центрально симметричном поле. () 43 Чтобы найти контравариантные компоненты ускорения по формуле (2.9) необходимо сначала найти контравариантные компоненты метрического тензора как элементы матрицы, обратной матрице gij, а затем символы Кристоффеля по формулам (2.8). Так как в ортогональных координатах матрица gij диагональная, то элементы обратной ей матрицы (также диагональной) просто обратны элементам gij: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. Выясним сначала, какие из символов Кристоффеля будут отличными от нуля. Для этого запишем соотношение (2.8), положив верхний индекс равным 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ . 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Так как недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю, а компонента g11 = 1 (постоянна), то последние два слагаемых в скобках обращаются в нуль, а первое слагаемое будет отличным от нуля для i = j = 2 и i = j = 3. Таким образом, среди символов Кристоффеля с индексом 1 вверху отличными от нуля будут только Γ122 и Γ133 . Аналогично находим отличные от нуля символы Кристоффеля с индексами 2 и 3 вверху. Всего отличных от нуля символов Кристоффеля оказывается 6: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Подставляя эти соотношения в выражение (1.3), получим контравариантные компоненты ускорения в сферических координатах: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θϕ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θϕ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξ ξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2.6. Уравнения движения в центральносимметричном поле В сферических координатах вектор силы имеет лишь одну отличную от нуля компоненту d Π (r) (2.13) Fr = − dr В силу этого второй закон Ньютона для материальной точки принимает вид d Π (r) (2.14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θϕ2 = − dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θϕ2 = 0 r 2 (2.16) W 3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ = 0 r Уравнение (2.15) имеет два частных решения ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 Первое из этих решений противоречит условию, накладываемому на криволинейные координаты, при θ = 0 якобиан преобразований обращается в нуль J = g = r 2 sin θ = 0 () θ= 0 С учетом второго решения (2.17) уравнения (2.14) и (2.16) принимают вид d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r Уравнение (2.19) допускает разделение переменных d ϕ dr = r ϕ и первый интеграл r 2ϕ = C , (2.20) где С – постоянная интегрирования. В следующем пункте будет показано, что эта постоянная представляет собой удвоенную секторную скорость, и, следовательно, сам интеграл (2.20) – второй закон Кеплера или интеграл площадей. Чтобы найти первый интеграл уравнения (2.18), подставим в (2.18) соотношение (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ и разделим переменные dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr В результате интегрирования получаем ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 т.е. закон сохранения механической энергии, в чем нетрудно убедиться, подставив (2.17) и (2.20) в (2.10). 2.7. Секторная скорость и секторное ускорение Секторная скорость – величина, численно равная площади, выметаемой радиус-вектором точки в единицу времени dS σ= . dt Как видно из рисунка 11 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 а секторная скорость определится соотношением 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ . 2 В случае плоского движения в цилиндрических координатах r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) принимает вид i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Рисунок 11 – Площадь, выметаемая радиус-вектором Таким образом, постоянная интегрирования C представляет собой удвоенную секторную скорость. Вычисляя производную по времени от выражения (2.22), получим секторное ускорение 47 1 ⎡r , r ⎤ . (2.24) 2⎣ ⎦ Согласно второму закону Ньютона выражение (2.24) представляет собой половину момента силы, деленному на массу и обращение этого момента в нуль приводит к сохранению момента импульса (см. п. 1.2). Секторная же скорость – это половина момента импульса, деленного на массу. Иначе говоря, первые интегралы уравнений движения в центрально симметричном поле можно было бы записать, не интегрируя явно дифференциальные уравнения движения, исходя только из того, что 1) движение происходит в отсутствие диссипативных сил; 2) момент сил 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m обращается в нуль. σ= 2.8. Уравнение движения материальной точки в поле тяжести и кулоновском поле 2.8.1. Эффективная энергия Переменные в соотношении (2.21) легко разделяются dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ и полученное соотношение (2.26) можно проанализировать. В случаях кулоновского и гравитационного полей потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию до центра α ⎧α > 0 − силы притяжения; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α < 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Полная энергия точки, находящейся на поверхности планеты массой M и радиусом R определится соотношением mv 2 GMm α2 − = − . E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Траектория точки – гипербола. Полная энергия точки больше нуля. 2.9. Сведение задачи двух тел к задаче одного тела. Приведенная масса Рассмотрим задачу движения двух тел под действием силы взаимодействия только друг с другом (рисунок 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – начало координат; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел Рисунок 14 – Задача двух тел Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ (2.35) Для вектора r имеем r = r2 − r1 . (2.36) Поставим задачу, выразить векторы r1 и r2 через вектор r . Одного уравнения (2.36) для этого недостаточно. Неоднозначность определения этих векторов обусловлена произвольностью выбора начала координат. Не ограничивая каким-либо образом этот выбор, невозможно единственным образом выразить векторы r1 и r2 через вектор r . Так как положение начала координат должно определяться только положением этих двух тел, то его имеет смысл совместить с центром масс (центром инерции) системы, т.е. положить m1r1 + m2 r2 = 0 . (2.37) Выражая с помощью (2.37) вектор r2 через вектор r1 и подставляя в (2.36), получим m2 m1 r1 = − r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Подставляя эти соотношения в (2.35) вместо двух уравнений получим одно mr = F (r) , где введена величина m, называемая приведенной массой mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Таким образом, задача движения двух тел в поле взаимного действия друг на друга сводится к задаче движения точки с приведенной массой в центрально-симметричном поле в системе центра инерции. 53 2.10. Формула Резерфорда В соответствии с результатами предыдущего пункта задача столкновения двух частиц и их последующего движения может быть сведена к движению частицы в центральном поле неподвижного центра. Эта задача была рассмотрена Э. Резерфордом для объяснения результатов опыта по рассеянию α-частиц атомами вещества (рисунок 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Рисунок 15 – rm ϕ ϕ χ Рассеяние α-частицы неподвижным атомом Траектория отклоняемой атомом частицы должна быть симметрична относительно перпендикуляра к траектории, опущенного из рассеивающего центра (биссектрисы угла, образуемого асимптотами). В этот момент частица оказывается на наименьшем расстоянии rm от центра. расстояние, на котором находится источник α-частиц намного больше rm, поэтому можно считать, что частица движется из бесконечности. Скорость этой частицы на бесконечности обозначена на рисунке 15 V∞ . Расстояние ρ линии вектора скорости V∞ от параллельной ей линии, проходящей через рассеивающий центр, называется прицельным расстоянием. Угол χ, образуемый асимптотой траектории рассеянной частицы с линией центра (одновременно – поляр54 ной осью полярной системы координат), называется углом рассеяния. Особенность эксперимента состоит в том, что прицельное расстояние в принципе не может быть определено в ходе эксперимента. Результатом же измерений может быть только число dN частиц, углы рассеяния которых принадлежат некоторому интервалу [χ,χ + dχ]. Не может быть определено и число падающих в единицу времени N частиц N, и плотность их потока n = (S – площадь попеS речного сечения падающего пучка). В силу этого в качестве характеристики рассеяния рассматривается так называемое эффективное сечение рассеяния dσ, определяемого формулой (2.39) dN . (2.39) dσ = n Полученное в результате простого расчета выражение dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ не зависит от плотности потока падающих частиц, но все еще зависит от прицельного расстояния. Не трудно видеть, что угол рассеяния является монотонной (монотонно убывающей) функцией прицельного расстояния, что позволяет эффективное сечение рассеяния выразить следующим образом: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ < 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным линейным уравнениям второго порядка, либо с помощью вспомогательной комплексной переменной ω = ω1 + iω2. Умножая второе из этих уравнений на i = −1 и складывая с первым для комплексной величины ω получим уравнение dω = iΩω, dt решение которого имеет вид ω = AeiΩt, где A – постоянная интегрирования. Приравнивая действительную и мнимую части, получим ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt. Проекция вектора угловой скорости на плоскость, перпендикулярную оси симметрии волчка ω⊥ = ω12 + ω22 = const , оставаясь постоянной по величине, описывает вокруг оси x3 окружность с угловой скоростью (3.26), называемой угловой скоростью прецессии. 3.10. Углы Эйлера Теорема Эйлера: Произвольное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки можно осуществить 82 тремя последовательными поворотами вокруг трех осей, проходящих через неподвижную точку. Доказательство. Предположим, что конечное положение тела задано и определяется положением системы координат Oξηζ (рисунок 25). Рассмотрим прямую ON пересечения плоскостей Оху и Oξηζ. Эта прямая называется линией узлов. Выберем на линии узлов ON положительное направление так, чтобы кратчайший переход от оси Oz к оси Oζ, определялся бы в положительном направлении (против направления хода часовой стрелки), если смотреть со стороны положительного направления линии узлов. z ζ η θ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Рисунок 25 – Углы Эйлера Первый поворот на угол ϕ (угол между положительными направлениями оси Ох и линии узлов ON) производим вокруг оси Oz. После первого поворота ось Oξ, которая в начальный момент времени совпадала с осью Ох, будет совпадать с линией узлов ON, ось Oη – с прямой Oy". Второй поворот на угол θ производим вокруг линии узлов. После второго поворота плоскость Oξη совместится со своим конечным положением. Ось Oξ при этом попрежнему будет совпадать с линией узлов ON, ось Oη – с 83 прямой Oy″. Co своим конечным положением совместится ось Oζ. Третий (последний) поворот производим вокруг оси Oζ на угол ψ. После третьего поворота оси подвижной системы координат займут свое конечное, наперед заданное положение. Теорема доказана. Из сказанного выше видно, что углы ϕ, θ и ψ определяют положение тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Эти углы называются: ϕ – угол прецессии, θ – угол нутации и ψ – угол собственного вращения. Очевидно, каждому моменту времени соответствует определенное положение тела и определенные значения углов Эйлера. Следовательно, углы Эйлера являются функциями времени ϕ = ϕ(t), θ = θ(t), и ψ = ψ(t). Эти функциональные зависимости называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки, так как они определяют закон его движения. Чтобы иметь возможность записать любой вектор во вращающейся системе координат, необходимо выразить векторы базиса покоящейся системы координат i , j , k через векторы e1 , e2 , e3 вращающейся системы координат, вмороженной в твердое тело. С этой целью введем три вспомогательных вектора. Обозначим единичный вектор линии узлов через n . Построим два вспомогательных координатных триэдра: n , n1 , k и n , n 2 , k , ориентированные как правые системы координат (рисунок 22), причем вектор n1 лежит в плоскости Оху, а вектор n 2 – в плоскости Oξη. Выразим единичные векторы покоящейся системы координат через эти вспомогательные векторы 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Вспомогательные векторы в свою очередь можно легко выразить через векторы вращающейся системы координат n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Подставляя (3.27) в (3.28), получим окончательную связь векторов базиса покоящейся системы координат с базисными векторами вращающейся системы координат i = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) cos ϕ − −[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 sin ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Эти преобразования можно записать в матричной форме L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 . L31 L32 L33 Матрица поворотов определяется элементами L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Тогда компоненты произвольного вектора угловой скорости вращения вокруг общего начала координат можно выразить через компоненты угловой скорости во вмороженной в твердое тело вращающейся системе координат следующим образом: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23 . L33 Задание. Запишите обратные преобразования, от покоящейся системы координат к вращающейся системе координат. 3.11. Движение в неинерциальных системах отсчета В пункте 1.4. мы рассматривали переход от одной системы отсчета (K) к другой (K´), движущейся поступательно относительно первой радиус-векторы произвольной точки «M», измеренные в этих системах отсчета (этими наблюдателями) связаны соотношением (рисунок 4, с. 23) r = r′ + R . Вычислим, как и в пункте 1.4, производную по времени от этого выражения dr dr ′ dR , = + dt dt dt предполагая теперь, что система отсчета K´ и связанная с ней система координат вращаются с некоторой угловой скоростью ω(t). В случае поступательного движения первое слагаемое в правой части последнего выражения представляло собой скорость точки M, измеренную наблюдате86 лем K´. В случае же вращательного движения оказывается, что вектор r ′ измеряется наблюдателем K´, а производная по времени вычисляется наблюдателем K. Чтобы выделить относительную скорость точки M, воспользуемся формулой (3.22), определяющей связь производной по времени от вектора в поступательно движущейся системе отсчета с производной во вращающейся системе отсчета dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′] , dt dt где d ′r ′ u′ = dt Производная по времени, измеренная наблюдателем K´. Выбирая, таки образом, в качестве полюса начало координат системы K´, определяемое радиус-вектором R , получим теорему сложения скоростей для вращающейся системы координат u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) где обозначения соответствуют обозначениям пункта 1.4. Вычисляя производную по времени от выражения (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ и преобразуя производную du′ d ′u′ = + [ ω, u′] , dt dt получим связь между ускорениями du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ dt dt dt Распространенные обозначения этих ускорений соответствуют их физическому смыслу: du Wабс = – ускорение точки M, измеренное покоящимся dt наблюдателем – абсолютное ускорение; 87 dV ′ – ускорение наблюдателя K´ относительно наdt блюдателя K – переносное ускорение; d ′u′ Wотн = – ускорение точки M, измеренное наблюдатеdt лем K´ – относительное ускорение; WКор = 2 [ ω, u′] – ускорение, возникающее вследствие двиWпер = жения точки M во вращающейся системе отсчета со скоростью, не параллельной вектору угловой скорости, – ускорение Кориолиса; [ ε, r ′] – ускорение, обусловленное неравномерностью вращательного движения системы отсчета K´, общепринятого наименования не имеет; Wцс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – нормальное или центростремительное ускорение, смысл названия которого становится очевидным в частном случае вращающегося диска, когда вектор ω перпендикулярен вектору r ′ . В самом деле, в этом случае Wцс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – вектор направлен перпендикулярно (нормально) линейной скорости по радиусу к центру. 3.12. Контрольная работа

Пусть Oxyz - инерциальная система координат, М - движущая точка массы m, - равнодействующая всех сил, приложенных к точке, - ускорение точки (рис. 1). В любой момент времени для движущейся точки выполняется основное уравнение динамики:

Вспоминая из кинематики формулу

выражающую ускорение через радиус-вектор точки, представим основное уравнение динамики в следующем виде:

Это равенство, выражающее основное уравнение динамики в дифференциальной форме, называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки.

Векторное дифференциальное уравнение эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям того же порядка. Они получаются, если основное уравнение динамики спроектировать на координатные оси и записать в координатной форме:

Так как эти равенства запишутся так:

Полученные равенства называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовой системе координат. В этих уравнениях текущие координаты точки, - проекции на координатные оси равнодействующей сил, приложенных к точке.

Если для ускорения воспользоваться формулой

то векторное и скалярные дифференциальные уравнения движения точки запишутся в виде дифференциальных уравнений первого порядка: - векторное дифференциальное уравнение; - скалярные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения точки можно записать не только в декартовой, но в любой другой системе координат.

Так, проектируя основное уравнение динамики на естественные координатные оси, получаем равенства:

где - проекции ускорения на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории в текущем положении точки; - проекции равнодействующей силы на эти же оси. Вспоминая формулы кинематики для проекций ускорения на естественные оси и подставляя их в написанные равенства, получим:

Это дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме. Здесь - проекция скорости на направление касательной, - радиус кривизны траектории в текущем положении точки. Многие задачи динамики точки решаются более просто, если воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме.

Рассмотрим примеры на составление дифференциальных уравнений движения.

Пример 1. Материальная точка массой брошена под углом к горизонту и движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости: , где b - заданный постоянный коэффициент пропорциональности.

Изображаем движущуюся точку в произвольный (текущий) момент времени t, прикладываем действующие силы - силу сопротивления R и вес точки (рис. 2). Выбираем координатные оси - начало координат принимаем в начальном положении точки, ось направляем горизонтально в сторону движения, ось у - вертикально вверх. Определяем проекции равнодействующей на выбранные оси ( - угол наклона скорости к горизонту):

Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения точки в общем виде, получаем дифференциальные уравнения движения, соответствующие нашей задаче:

Третье уравнение отсутствует, так как движение происходит в плоскости .

Пример 2. Движение математического маятника в пустоте. Математическим маятником называют материальную точку М, подвешенную при помощи невесомой нити (или стержня) длиной к неподвижной точке О и движущуюся под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса (рис. 3). В данном примере траектория точки известна (это окружность радиуса с центром в точке О), поэтому целесообразно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения в естественной форме. Принимаем за начало отсчета дуговой координаты наинизшую точку окружности направление отсчета выберем вправо. Изображаем естественные оси - касательную , главную нормаль бинормаль направлена на читателя. Проекции на эти оси равнодействующей приложенных сил - веса и реакции связи таковы ( - угол наклона маятника к вертикали).

Основной закон механики, как указывалось, устанавливает для материальной точки связь между кинематическими (w - ускорение) и кинетическими ( - масса, F - сила) элементами в виде:

Он справедлив для инерциальных систем, которые выбираются в качестве основных систем, поэтому фигурирующее в нем ускорение резонно называть абсолютным ускорением точки.

Как указывалось, сила, действующая на точку, в общем случае зависит от времени положения точки, которое можно определить радиусом-вектором и скорости точки Заменяя ускорение точки его выражением через радиус-вектор, основной закон динамики запишем в виде:

В последней записи основной закон механики представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, служащее для определения уравнения движения точки в конечной форме. Уравнение, приведенное выше, называется уравнением движения точки в дифференциальной форме и векторном виде.

Дифференциальные уравнение движения точки в проекциях на декартовы координаты

Интегрирование дифференциального уравнения (см. выше) в общем случае представляет собой сложную задачу и обычно для решения ее от векторного уравнения переходят к скалярным уравнениям. Так как сила, действующая на точку, зависит от времени положения точки или ее координат и скорости точки или проекции скорости то, обозначая проекции вектора силы на прямоугольную систему координат соответственно дифференциальные уравнения движения точки в скалярной форме будут иметь вид:

Естественная форма дифференциальных уравнений движения точки

В тех случаях, когда заранее известна траектория точки, например, когда на точку наложена связь, определяющая ее траекторию, удобно пользоваться проекцией векторного уравнения движения на естественные оси, направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории. Проекции силы, которые назовем соответственно будут в этом случае зависеть от времени t, положения точки, которое определяется дугой траектории и скорости точки, или Так как ускорение через проекции на естественные оси записывается в виде:

то уравнения движения в проекции на естественные оси имеют вид:

Последние уравнения называются естественными уравнениями движения. Из этих уравнений следует, что проекция действующей на точку силы на бинормаль равна нулю и проекция силы на главную нормаль определяется после интегрирования первого уравнения. Действительно, из первого уравнения будет определено как функция времени t при заданной тогда, подставляя во второе уравнение найдем так как при заданной траектории радиус кривизны ее известен.

Дифференциальные уравнения движения точки в криволинейных координатах

Если положение точки задано ее криволинейными координатами то, проектируя векторное уравнение движения точки на направления касательных к координатным линиям, получим уравнения движения в виде.

Общие представления

Характерными параметрами движения жидкости являются давление, скорость и ускорение, зависящие от положения материальной точки в пространстве. Различают два вида движения жидкости: установившееся и неустановившееся. Движение называют установившимся, если параметры движения жидкости в данной точке пространства не зависят от времени. Движение, не удовлетворяющее этому определению, называют неустановившимся. Таким образом, при установившемся движении

при неустановившемся движении

Примером установившегося движения может служить истечение жидкости из отверстия в стенке резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень путем непрерывного пополнения жидкости. Если сосуд опорожняется через отверстие без пополнения, то давление, скорость и очертание потока изменяются во времени, и движение будет неустановившимся. Установившееся движение является основным видом течения в технике.

Движение называется плавноизменяющимся, если не происходит отрыва потока от направляющих стенок с образованием в местах отрыва областей застойных вихревых течений.

В зависимости от характера изменения скорости по длине потока плавноизменяющееся движение может быть равномерным и неравномерным. Первый вид движения соответствует случаю, когда по всей длине потока живые сечения одинаковы, а скорости постоянны по величине. В противном случае плавноизменяющееся движение будет неравномерным. Примером равномерного движения является движение с постоянной скоростью в цилиндрической трубе постоянного сечения. Неравномерное движение будет в трубе переменного сечения при слабом расширении и большом радиусе кривизны потока. В зависимости от давления на поверхностях, ограничивающих поток жидкости, движение бывает напорное и безнапорное. Напорное движение характеризуется наличием твердой стенки в любом живом сечении и обычно имеет место в закрытом трубопроводе при полном заполнении его поперечного сечения, т. е. при отсутствии свободной поверхности в потоке. Безнапорные потоки имеют свободную поверхность, граничащую с газом. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести.

При исследовании жидкости пользуются двумя принципиально различными аналитическими методами: Лагранжа и Эйлера с движением твердого тела, выделяя в ней частицу с заданными начальными координатами и прослеживая ее траекторию.

Согласно Лагранжу поток жидкости рассматривают как совокупность траекторий, описываемых жидкими частицами. Общий вектор скорости жидкой частицы в отличие от скорости твердой состоит в общем случае из трех компонентов: наряду с переносной и относительной скоростью жидкой частице свойственна скорость деформации. Метод Лагранжа оказался громоздким и не получил широкого распространения.

По методу Эйлера рассматривают скорость жидкости в фиксированных точках пространства; при этом скорость и давление жидкости представляют как функции координат пространства и времени, а поток оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным произвольным точкам пространства. В поле скоростей могут быть построены лини тока, которые в данный момент времени являются касательными к вектору скорости жидкости в каждой точке пространства. Уравнения линии тока имеют вид

где проекции скорости на соответствующие оси координат отнесены к проекциям приращения линии тока. Таким образом, согласно Эйлеру поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства, что упрощает решение задач.

В кинематике и динамике рассматривается струйчатая модель движения жидкости, при которой поток представляется состоящим из отдельных элементарных струек. При этом элементарная струйка представляется как часть потока жидкости внутри трубки тока, образованной линиями тока, проходящими через бесконечно малое сечение. Площадь сечения трубки тока, перпендикулярную линиям тока, называют живым сечением элементарной струйки.

При установившемся движении элементарные струйки не меняют своих очертаний в пространстве. Потоки жидкости в общем случае являются трехмерными, или объемными. Более простыми являются двухмерные плоские потоки и одномерные осевые. В гидравлике преимущественно рассматриваются одномерные потоки.

Объем жидкости , проходящей через живое сечение в единицу времени , называют расходом

Скоростью жидкости в точке является отношение расхода элементарной струйки проходящей через данную точку, к живому сечению струйки dS

Для потока жидкости скорости частиц по живому сечению различны. В этом случае скорость жидкости усредняют, и все задачи решают относительно средней скорости. Это правило одно из основных в гидравлике. Расход потока через сечение

и средняя скорость

Длина контура живого сечения, по которой поток соприкасается с ограничивающими его стенками канала (трубы), называется смоченным периметром. При напорном движении смоченный периметр равен полному периметру живого сечения, а при безнапорном движении смоченный периметр меньше геометрического периметра сечения канала, так как в нем имеется свободная поверхность, не соприкасающаяся со стенками (рис. 15).

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру

называют гидравлическим радиусом R.

Например, при напорном движении в круглой трубе геометрический радиус , смоченный периметр , а гидравлический радиус . Значение часто называют эквивалентным диаметром d экв.

Для канала прямоугольного сечения при напорном движении ; .

Рис. 15. элементы гидравлического потока

Рис. 16. К выводу уравнения неразрывности потока

В случае безнапорного движения

здесь размеры поперечного сечения канала (см. рис. 15). Основное уравнение кинематики жидкости уравнение не разрывности, которое вытекает из условий несжимаемости, жидкости и сплошности движения, гласит, что в каждый момент времени расход через произвольное сечение потока равен расходу через любое другое живое сечение этого потока

Представляя расход через сечение в форме

получим из уравнения неразрывности

из которого следует, что скорости потока пропорциональны площадям живых сечений (рис. 16).

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить с помощью уравнения покоя (2.3), если согласно началу Даламбера ввести в эти уравнения силы инерции, отнесенные к массе движущейся жидкости. Скорость жидкости является функцией координат и времени ; ее ускорение состоит из трех компонентов, являющихся производными проекций на координатные оси,

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.

Переход к реальной жидкости в уравнении (3.7) требует учета сил трения, отнесенных к единице массы жидкости, что приводит к уравнениям Навье-Стокса. Ввиду сложности эти уравнения редко применяются в технической гидравлике. Уравнение (3.7) позволит получить одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости (рис. 17). Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скорости , элемент длиной и площадью . Выделенный элемент будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента , его ускорение

Применив к выделенному элементу весом уравнение динамики в проекции на траекторию его движения, получим

Учтя, что и что при установившемся движении , а также принимая, что , получим после интегрирования деления на

Pиc. 17. К выводу уравнения Бернулли

Рис. 18. Схема работы скоростной трубки

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Первый член уравнения выражает удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью сравнения , или ее геометрический напор (высоту), второй удельную энергию давления, или пьезoметрический напор, а член представляет собой удельную кинетическую энергию, или скоростной напор. Константа Н называется полным напором потока в рассматриваемом сечении. Сумма первых двух членов уравнения называется статическим напором

Члены уравнения Бернулли, поскольку они представляют собой энергию единицы веса жидкости, имеют размерность длины. Член есть геометрическая высота частички над плоскостью сравнения, член - пьезометрическая высота, член – скоростная высота, которая может быть определена с помощью скоростной трубки (трубки Пито), представляющей собой изогнутую трубку небольшого диаметра (рис. 18), которая устанавливается в потоке открытым нижним концом навстречу течению жидкости, верхний, тоже открытый конец трубки выводится наружу. Уровень жидкости в трубке устанавливается выше уровня R пьезометре на величину скоростной высоты

В практике технических измерений трубка Пито служит в качестве прибора для определения местной скорости жидкости. Измерив величину , находят скорость в рассматриваемой точке сечения потока

Уравнение (3.8) можно получить непосредственно путем интегрирования уравнений Эйлера (3.7) или следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании уравнения гидростатики (2.7) потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений и и . Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

В случае реальной жидкости полный напор в уравнении (3.8) для разных элементарных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как не одинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, ввиду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

Отсюда, усредняя уравнения Бернулли для элементарной струйки на весь поток и учтя потерю напора на сопротивление движению, получим

где - коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного -2; - средняя скорость потока: - уменьшение удельной механической энергии отока на участке между сечениями 1 и 2, происходящее в результате сил внутреннего трения.

Заметим, что расчет дополнительного члена в уравнении Берулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнений Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости приведено на рис. 19

Pиc. 19. Диаграмма уравнения Бернулли

Линия A, которая проходит по уровням пьезoметрах, измеряющих в точках избыточное давление, называется пьезoметрической линией. Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора