САУ называется устойчивой, если при t  переходный процесс стремится к установившемуся значению. Учитывая то, что в линейных САУ по существу рассматриваются линеаризованные системы, то указанный вид устойчивости справедлив при малых отклонениях от первоначального устойчивого состояния. Эту устойчивость называют также "устойчивостью в малом". Иллюстрации такой устойчивости приведены на рис.1.33.

Свойство устойчивости для САУ является обязательным, так как неустойчивая САУ фактически неработоспособна.

Устойчивость можно оценить прямыми методами или при помощи критериев устойчивости.

Прямые методы оценки устойчивости.

Свойство устойчивости может быть определено по графику переходного процесса (рис.1.33г). Однако расчёт и построение графика переходного процесса требует больших вычислений.

Проще установить устойчивость без построения графика h (t ), а только по корням характеристического уравнения изображения переходного процесса h (p ). Каждому корню характеристического уравнения соответствует свой член, входящий как слагаемое в выражение h (t ) переходного процесса. В таблице 1.5 приведены соответствия корней характеристического уравнения САУ, вид слагаемых в выражении переходного процесса и характеристики устойчивости САУ.

Оценка устойчивости либо по графику переходного процесса, либо по корням характеристического уравнения имеет тот недостаток, что её невозможно в общем случае применить к САУ, в передаточной функции которой содержится хотя бы один буквенный коэффициент, так как не существует аналитических методов решения алгебраических уравнений (именно таким уравнением является характеристическое уравнение САУ) выше 3-й степени. По этой же причине неприменима указанная оценка устойчивости на этапе синтеза САУ.

Оценка устойчивости при помощи критериев устойчивости.

В ТАУ для оценки устойчивости применяются критерии устойчивости. Критериями устойчивости называются совокупность процедур и правил, с помощью которых можно установить факт устойчивости САУ без нахождения корней характеристического уравнения. Существуют различные виды таких критериев как алгебраических, так и частотных. Ниже рассмотрены наиболее применимые в ТАУ критерии Гурвица, Михайлова и Найквиста.

Таблица 1.5

Критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица является алгебраическим. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.

Вводная часть к критерию Гурвица.

Пусть замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию

Из коэффициентов характеристического многочлена

составляем следующую матрицу

Порядок заполнения матрицы следующий. Сначала по диагонали матрицы располагают коэффициенты от a 1 до a n . Затем над диагональными элементами располагают коэффициенты с возрастающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0. Далее под диагональными элементами располагают коэффициенты с убывающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0.

Формулировка критерия Гурвица: САУ устойчива, если:

1) положительны все коэффициенты характеристического многочлена;

2) положительны все n главных (диагональных) определителей Гурвица матрицы (1.45):

(1.46)

Последний определитель не вычисляют, так как его знак совпадает со знаком Δ n -1 :

Δ n =a n  Δ n-1

Если хотя бы один определитель Гурвица отрицателен, то САУ неустойчива. Если имеется хотя бы один определитель Гурвица равен нулю при остальных положительных, то САУ находится на границе устойчивости.

Числовой пример.

Определить устойчивость САУ с передаточной функцией

Составляем матрицу Гурвица и главные определители

Оба определителя положительны, поэтому САУ устойчива.

Определение допустимых настроек САУ.

Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Гурвица можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов. Покажем это на примере.

Пусть САУ управления курсом судна, представленная на рис.1.34, состоит из двух звеньев - авторулевого и судна. Передаточные функции авторулевого и судна имеют вид, соответственно,

Постоянная времени T судна зависит от загрузки судна и изменяется от 10 с при порожнем судне до 60 с при полностью загруженном. Параметром настройки авторулевого является коэффициент передачи K . Необходимо найти такие значения параметра K , при которых САУ устойчива при изменении загрузки судна.

Определяем передаточную функцию замкнутой САУ

(1.48)

Составляем матрицу Гурвица и вычисляем 2-й определитель:

(1.49)

С учётом положительности всех коэффициентов характеристического многочлена при условии (1.49) САУ будет устойчива при одновременном выполнении следующей системы неравенств

САУ будет находиться на границе устойчивости, если будет выполнено хотя бы одно из равенств

Каждое из равенств (1.51) является на плоскости T - K границей области устойчивости (рис.1.35). Штриховкой обозначены области устойчивости по отношению к линиям границы устойчивости. Общая область a 0 d для всех заштрихованных областей является областью устойчивости САУ.

Пусть при порожнем судне с Т порож установлен коэффициент передачи K 1 регулятора. Этот состояние САУ отмечено точкой 1 , лежащей в области устойчивости. Если после загрузки судна значение T увеличится до T груж , то при том же K 1 САУ в точке 2 будет неустойчива. Необходимо будет увеличить K до значения K 3 , чтобы система оказалась в точке 3 . Область, ограниченная ломаной линией abcd , будет областью устойчивости при любой загрузке судна.

10.1. Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ

САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

САУ, неустойчивые по первой причине называются структурно неустойчивыми . Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис.72. При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении K крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0 ). При дальнейшем увеличении K , САУ будет неустойчива. И наоборот, при уменьшении K такую САУ в принципе возможно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой .

Если САУ астатическая, то при ее размыкании характеристическое уравнение можно представить в виде: pD 1 p(p) = 0 , где n - порядок астатизма , равный количеству последовательно включенных интеграторов. Это уравнение имеет нулевые корни, поэтому при 0 , АФЧХ стремится к (рис.71в и 71г). Например, пусть W р (p) = , здесь = 1 , тогда АФЧХ разомкнутой САУ:

W(j) = = P() + jQ().

Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при 0 имеем P() - , Q() -j . Подобная АФЧХ представлена на рис.73.

Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0) . В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при 0 , ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.

Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма = 2 ), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис.74). Например, пусть W р (p) = , тогда АФЧХ САУ:

W(j) = = P() + jQ().

При 0 имеем P() -, Q() + j. Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие или форсирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей.

10.2. Понятие запаса устойчивости

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости .

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.75).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = K кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис.76) и попадет на границу устойчивости, а при K > K кр замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис.77). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h 1 и h 2 , заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис.78).

10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K 1 2 . Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79).

Если W 1 (p) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W 2 (p) = KW 1 (p) , где K = K 2 /K 1 . Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W 1 (p) , поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L 2 () = 20lgK + L 1 () ,

а ЛФЧХ: 2 () = 1 () .

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = - . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = - линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A 1 () 2 () > 1 , что соответствует на САЧХ значениям L 1 () = 20lgA 1 () 2 () > 0 .

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = - будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h 1 и h 2 , определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = - , но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты c1 и c2 , при которых это происходит называют частотами среза .

В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > - (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = - . И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) c2 -, поэтому при = c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = - . Угол 1 = c1 -(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = - до ЛФЧХ.

Одной из важнейших характеристик АСУ является ее устойчивость.

Устойчивость САУ – свойство системы возвращаться в состояние равновесия после прекращения изменения воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы.

Неустойчивая система не возвращается в состояние равновесия, а непрерывно удаляется от него. От устойчивости САУ зависит ее работоспособность. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность. Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления.

Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.

Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.

Неустойчивость САУ возникает, как правило, из-за неправильного (положительного) или очень сильного действия главной обратной связи. В результате чего в систему в режиме гармонических колебаний непрерывно поступает (закачивается) энергия. Энергия системы увеличивается. Увеличиваются и связанные с ней режимные параметры, например, регулируемая величина. Такое явление в технике получило название резонанса.

Причинами неправильного действия главной обратной связи САУ являются:

Выполнение главной обратной связи САУ по ошибке положительной вместо отрицательной, что практически при любых параметрах делает систему неустойчивой.

Значительная инерционность элементов замкнутого контура САУ (например, объекта управления), из-за которой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи (например, управляемая величина) значительно отстает от входного сигнала (например, задающего воздействия) и оказывается с ним в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная, в динамическом режиме (режиме гармонических колебаний) начинает на определенной частоте действовать как положительная. Это ведет к раскачиванию системы и нарушению ее устойчивости.

Общее (математическое) условие устойчивости

Согласно данному выше физическому определению устойчивость определяется характером движения системы, когда воздействия, выведшие ее из состояния равновесия, прекратили действовать или изменяться во времени. Такое движение системы называют свободным. Оно происходит за счет внутренней энергии самой системы и зависит только от ее свойств (параметров). Для линейной или линеаризованной САУ:

(1)

С математической точки зрения:

Система устойчива, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю.

Общее математическое условие устойчивости :

для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными (или чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой части комплексной плоскости).

Линейные уравнения вида (1), как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает вопрос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, и не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при линеаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему:

если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению нельзя . Отброшенные при линеаризации малые члены могут сделать систему неустойчивой, и поэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать по исходному нелинейному уравнению.

Понятие о качестве управления в ТАУ

Качество САУ – совокупность свойств, обеспечивающих эффективное функционирование системы в целом.

Качество управления САУ – совокупность свойств САУ, характеризующих точность поддержания управляемой величины на заданном уровне в установившихся и переходных режимах.

Точность

Назначение САУ заключается в поддержании равенства

Основной способ снижения ошибки в САУ ОС – увеличение коэффициента усиления регулятора.

Однако это не значит, что можно таким образом достичь любой желаемой точности. Здесь начинает сказываться одно из фундаментальных противоречий в рамках теории управления - противоречие между точностью системы и запасом устойчивости. При чрезмерном увеличении коэффициента усиления возможна потеря устойчивости замкнутой системы. Повышение точности всегда приводит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде.

Различают точность, рассматриваемую в переходном процессе - динамическая точность , и точность в установившемся режиме - статическая точность .

Статическая точность в следящей системе определяется при гармоническом входном воздействии с использованием передаточной функции по ошибке.

Задав допустимые границы точности по амплитуде и по фазе, получим область частот, где гарантируется данная точность - это полоса пропускания.

Динамическая точность относится к более сложным задачам анализа систем, т.к. требует изучения всего переходного процесса.

Точность САУ в переходном режиме оценивают при помощи прямых и косвенных показателей качества.

Прямые показатели качества определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе при ступенчатом внешнем воздействии.

Косвенные показатели качества определяют по распределению корней характеристического уравнения или по частотным характеристикам системы.

Различают колебательный (1), апериодический (2) и монотонный (3) типовые переходные процессы:

Познакомимся с показателями качества переходного процесса, вызванного ступенчатым изменением задающего воздействия:

Перерегулирование σ - величина, равная отношению первого максимального отклонения управляемой величины x(t) от ее установившегося значения x(∞) к этому установившемуся значению:

Качество управления считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30…40%.

Степень затухания :

Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если ψ = 0,75…0,95.

Длительность переходного процесса (время регулирования) t п – интервал времени от момента приложения ступенчатого воздействия до момента, после которого отклонения управляемой величины x(t) от ее нового установившегося значения x(∞) становятся меньше некоторого заданного числа δ п, т. е. до момента, после которого выполняется условие

⎢ x(t) - x(∞) ⎢ ≤ δ п.

В промышленной автоматике величину δ п обычно принимают равной 5% от установившегося значения x(∞).

Колебательность N – число переходов управляемой величины x(t) через ее установившееся значение x(∞) за время переходного процесса t п .

Рассмотренные прямые показатели качества удобно использовать в тех случаях, когда график переходного процесса x(t) можно получить экспериментально в реальной САУ или путем моделирования системы на ЭВМ.

Устойчивость системы автоматического управления Устойчивость системы автоматического управления, способность системы автоматического управления (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям). Состояние САУ называется устойчивым, если отклонение от него остаётся сколь угодно малым при любых достаточно малых изменениях входных сигналов. У. САУ разного типа определяется различными методами. Точная и строгая теория У. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А. М. Ляпуновым в 1892.

═ Все состояния линейной САУ либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об У. системы в целом. Для У. стационарной линейной СЛУ, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, необходимо и достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения имели отрицательные действительные части (тогда САУ асимптотически устойчива). Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения, не решая это уравнение √ непосредственно по его коэффициентам. При исследовании У. САУ, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (до 4-го), пользуются критериями Рауса и Гурвица (Э. Раус, англ. механик; А. Гурвиц, нем. математик). Однако этими критериями пользоваться во многих случаях (например, в случае САУ, описываемых уравнениями высокого порядка) практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчётов; кроме того, само нахождение характеристических уравнений сложных САУ сопряжено с трудоёмкими математическими выкладками. Между тем частотные характеристики любых сколь угодно сложных СЛУ легко находятся посредством простых графических и алгебраических операций. Поэтому при исследовании и проектировании линейных стационарных САУ обычно применяют частотные критерии Найквиста и Михайлова (Х. Найквист, амер. физик; А. В. Михайлов, сов. учёный в области автоматического управления). Особенно прост и удобен в практическом применении критерий Найквиста. Совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива, называется областью У. Близость САУ к границе области У. оценивается запасами У. по фазе и по амплитуде, которые определяют по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой САУ. Современная теория линейных САУ даёт методы исследования У. систем с сосредоточенными и с распределёнными параметрами, непрерывных и дискретных (импульсных), стационарных и нестационарных.

═ Проблема У. нелинейных САУ имеет ряд существенных особенностей в сравнении с линейными. В зависимости от характера нелинейности в системе одни состояния могут быть устойчивыми, другие √ неустойчивыми. В теории У. нелинейных систем говорят об У. данного состояния, а не системы как таковой. У. какого-либо состояния нелинейной САУ может сохраняться, если действующие возмущения достаточно малы, и нарушаться при больших возмущениях. Поэтому вводятся понятия У. в малом, большом и целом. Важное значение имеет понятие абсолютной У., т. е. У. САУ при произвольном ограниченном начальном возмущении и любой нелинейности системы (из определённого класса нелинейностей). Исследование У. нелинейных САУ оказывается довольно сложным даже при использовании ЭВМ. Для нахождения достаточных условий У. часто применяют метод функций Ляпунова. Достаточные частотные критерии абсолютной У. предложены рум. математиком В. М. Поповым и др. Наряду с точными методами исследования У. применяются приближённые методы, основанные на использовании описывающих функций, например методы гармонической или статистической линеаризации .

═ Устойчивость САУ при воздействии на неё случайных возмущений и помех изучается теорией У. стохастических систем.

═ Современная вычислительная техника позволяет решать многие проблемы У. линейных и нелинейных САУ различных классов как путём использования известных алгоритмов , так и на основе новых специфических алгоритмов, рассчитанных на возможности современных ЭВМ и вычислительных систем.

═ Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Собр. соч., т. 2, М. √ Л., 1956; Воронов А. А., Основы теории автоматического управления, т, 2, М. √ Л., 1966; Наумов Б. Н., Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы, М., 1972; Основы автоматического управления, под ред. В. С. Пугачева, 3 изд., М., 1974.

═ В. С. Пугачев, И. Н. Синицын.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Устойчивость системы автоматического управления" в других словарях:

Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн … Википедия

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ - научное направление, изучающее принцип построения системы автоматического управления (САУ). Т. а. у. составляет одну из частей общей теории управления. Цель Т. а. у. построение работоспособных и точных САУ. Простейшая и наиболее распространенная… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

Совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных режимах его работы. С. а. у. ГТД выполняет следующие … Энциклопедия техники

Энциклопедия «Авиация»

система автоматического управления ГТД - система автоматического управления ГТД — совокупность устройств, автоматически обеспечивающих выполнение с требуемой точностью выбранных программ управления газотурбинным двигателем летательного аппарата на установившихся и переходных… … Энциклопедия «Авиация»

I Устойчивость решений дифференциальных уравнений, понятие качественной теории дифференциальных уравнений, разрабатывающееся особенно в связи с вопросами устойчивости движения (См. Устойчивость движения) в механике; имеет также важное… …

Устойчивость способность системы сохранять текущее состояние при наличии внешних воздействий. В макроэкономике устойчивость обозначает долгосрочное равновесие между эксплуатацией ресурсов и развитием человеческого общества. В метеорологии… … Википедия

См. Устойчивость системы автоматического управления … Большая советская энциклопедия

Структура управления систематизированный (строго определенный) набор средств сбора сведений о подконтрольном объекте и средств воздействия на его поведение с целью достижения определённых целей. Объектом системы управления могут быть как… … Википедия

Летательного аппарата способность летательного аппарата (в том числе летательного аппарата с системой улучшения устойчивости и управляемости) восстанавливать без вмешательства лётчика исходный режим продольного движения после прекращения действия … Энциклопедия техники

Книги

• Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине "Теория автоматического управления" . Материал…
• Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. Учебное пособие. Гриф УМО вузов России , Гайдук Анатолий Романович, Пьявченко Тамила Алексеевна, Беляев Виктор Егорович. В пособии приведены методики решения всех типов рассматриваемых примеров и задач, а также задачи для самостоятельного решения по дисциплине`Теория автоматического управления`. Материал…

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http :// www . allbest . ru /

УСТОЙЧИВОСТЬ СИ СТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1. Основные понятия теории устойчивости

1.1 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения

1.2 Алгебраические критерии устойчивости

1.3 Частотные критерии устойчивости

2. Выделение областей устойчивости

Библиографический список

1. Основ ные понятия теории устойчивости

В процессе функционирования система подвергается различного рода возмущающим воздействиям, которые вызывают отклонения ее от положения равновесия или заданного движения.

Система автоматического управления называется устойчивой, если после прекращения действия возмущений, вызвавших ее отклонение от п о ложения равновесия, она возвращается в это положение равновесия или з а данного движения.

Следовательно, только устойчивая система является работоспосо б ной.

Пусть САУ описывается системой нелинейных стационарных дифференциальных уравнений вида

где yk - переменные состояния системы;

Yk - известные функции, определенные в некоторой фиксированной области G пространства переменных yk при любом t >0.

B этом пространстве уравнения (3.1) определяют компоненты Yk вектора скорости движения некоторой точки М , называемой изображающей точкой . С физической точки зрения уравнения (3.1) следует рассматривать как математическую форму записи тех физических законов, которым подчиняется система автоматического управления. Область G определения функций Yk является той частью пространства состояний, на которую распространяется действие указанных физических законов.

Пусть величины y 10,...., yn 0 обозначают начальные значения переменных состояния. Каждой системе начальных значений соответствует единственное решение

уравнений, определенное для любых Допустим, что среди всех движений нас интересует то, которое описывается заданными функциями времени

В частном случае, когда система стационарна и функции Yk явно не зависят от времени, тогда движения (3.3) являются установившимися. Им отвечают так называемые очевидные решения

служащие корнями уравнений

В дальнейшем будем говорить об устойчивости движения системы, имеющей решение (3.3), рассматривая ее установившееся движение как частный случай. Введем в рассмотрение отклонения от заданного движения

Подставив выражения для yk , полученные из в исходную систему уравнений, получим

,

где

Уравнения записаны относительно отклонений, появившихся в результате каких-либо возмущений и, по терминологии Ляпунова, называются уравн е ниями возмущенного движения .

Формула определяет преобразование переноса начала координат в точку с координатами и поэтому, если решение системы (3.1) сходится к значениям, то решение системы сходится к нулю. Уравнения

называются уравнениями невозмущенного движения.

При t = t 0 переменные х k принимают свои начальные значения xk 0 ,которые называются возмущениями. Каждой заданной системе таких возмущений соответствует единственное решение

Эти решения представляют собой возмущенное движение системы.

Изучим поведение разностей при t > t 0 . Рассмотрим для этого уравнение

которое определяет в n -мерном пространстве квадрат расстояния изображающей точки М от начала координат. Возмущенное движение при t>t0 может протекать следующим образом:

изображающая точка М все более удаляется от начала координат, а величина R неограниченно возрастает (кривая 1 на рис.3.1);

изображающая точка М остается внутри некоторой окрестности начала координат, так что величина R все время имеет ограниченное значение, не превосходящее наперед заданное малое положительное число , т.е. R < (кривая 2 на рис.3.1);

изображающая точка М с течением времени возвращается в начало координат, т.е. (кривая 3 на рис.3.1).

Рис. 3.1. Виды движения изображающей точки

Равновесное состояние xk =0 можно считать устойчивым, если система, получив начальное возмущение, в дальнейшем продолжает оставаться в бл и жайшей окрестности равновесного состояния или возвращается в него. Следует дать конкретное толкование понятию “ближайшая окрестность” и основоположник теории устойчивости А.М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости.

Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам xk , если при всяком произвольно заданном положительном чи с ле , как бы мало оно ни было, найдется другое такое положительное число ( ) , при котором для возмущений xk 0 , удовлетворяющих услов и ям

возмущенное движение будет удовлетворять неравенствам

при любом t > t 0. Неравенства ограничивают область допустимых начальных отклонений.

Если при сколь угодно малом >0 невозможно найти ( ) , при котором удовлетворяются неравенства (3.11), то система неустойчива.

Если система устойчива и ее движение таково, что , то эта си с тема асимптотически устойчива.

Отсюда следует, что на рис. 3.1 кривая 1 соответствует неустойчивой системе, кривая 2 - устойчивой системе, а кривая 3-асимптотически устойчивой системе.

А.М. Ляпунов разработал различные методы оценки устойчивости САУ. Прямой, или так называемый второй метод Ляпунова, применим для исследования всех классов систем и основан на использовании специальных функций Ляпунова. Мы уже говорили, что значительное число систем допускают линеаризацию по методу малого отклонения и Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости в малом, т.е. при малых отклонениях, исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения, полученным в результате линеаризации.

1 . 1 Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения

Любое линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида

,

где i - корни характеристического уравнения, x т( t ) - частное решение, определяющее требуемое движение системы. Отклонение от заданного движения запишется в виде

Отсюда следует, что если все корни характеристического уравнения отрицательны (имеют отрицательную вещественную часть), то и линейная система асимптотически устойчива. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то и линейная система неустойчива. Можно ли по корням характеристического уравнения линеаризованной системы оценить устойчивость исходной нелинейной системы при малых отклонениях? А.М. Ляпунов доказал следующие теоремы об устойчивости в малом.

Теорема 1. Если вещественные части k всех корней k j k характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы асимптотически устойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво независимо от не учитываемых членов разложения в ряд Тейлора выше первого порядка малости.

Критические случаи, когда нельзя судить об устойчивости по уравнениям первого приближения, возникают, если среди всех корней имеется группа корней, вещественная часть которых равна нулю, а остальные имеют отрицательные вещественные части.

Рассмотрим рисунок.

Корни характеристического уравнения, имеющие отрицательные вещественные части расположены в левой полуплоскости и называются устойчивыми корнями (полюсами) системы. Корни с положительными вещественными частями расположены в правой полуплоскости и являются неустойчивыми полюсами системы. С этой точки зрения мнимая ось является границей устойчивости и штрихуется слева.

Представляет интерес часто встречающийся случай, когда характеристический полином системы имеет один нулевой корень, а остальные корни лежат в левой полуплоскости. Это соответствует уравнению системы, в котором равен нулю свободный член an .

Вынеся за скобки оператор s , получим

Так как оператор Лапласа при нулевых начальных условиях является символом дифференцирования, то можно сделать вывод, что последнее уравнение записано относительно скорости регулируемой величины. Характеристическое уравнение

по условию имеет только устойчивые корни и, следовательно, система устойчива относительно скорости регулируемой величины. По отношению к самой регулируемой величине система нейтральна и ее значение после окончания процесса регулирования произвольно и зависит от начальных условий. Такие системы называются нейтрально устойчивыми.

Оценка устойчивости непосредственно по корням характеристического уравнения возможна, но малопригодна в инженерной и научной практике, так как знание численных значений корней не несет информации о путях стабилизации системы, если она неустойчива или имеет малые запасы устойчивости. Поэтому для целей анализа устойчивости разработаны специальные критерии, позволяющие исследовать вопросы устойчивости без определения корней характеристического уравнения.

1.2 Алгеб раические критерии устойчивости

Необходимое условие устойчивости.

Характеристическое уравнение системы после определения его корней может быть представлено в виде

Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательные вещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получим характеристическое уравнение системы

,

в котором все коэффициенты а i , i =1,2,... n , будут строго больше нуля.

Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше н у ля.

Понятие недостаточности означает, что если какой-либо коэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю, то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает, что система устойчива. Нужны дополнительные исследования.

Критерий устойчивости Гурвица.

Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:

по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до а n в порядке возрастания индексов;

столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх- по возрастающим индексам;

места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.

Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка. Характеристическое уравнение системы имеет вид

где все коэффициенты строго больше нуля. Получим

.

Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части и система была устойчивой необход и мо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определит е ли определителя Гурвица были строго больше нуля.

Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий

а k >0, k =0,1,2,...5;

2 =а1а2 - а0а3>0;

3=а3 2 - а12а4>0;

4 =а4 3 -а2а5 2 + а0а5(а1а4 - а0а5)>0;

5 =а5 4>0.

Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда а n >0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до n -1 включительно. Доказано, что если n -1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия n -1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.

Пример. Исследовать устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа автопилота по углу тангажа. Система задана структурной схемой.

На схеме обозначено:

k - передаточное число (коэффициент передачи) автопилота по углу тангажа;

передаточная функция рулевого привода;

передаточная функция самолета по угловой скорости тангажа z ;

k z - передаточное число автопилота по угловой скорости тангажа.

Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать

где

Передаточная функция замкнутой системы примет вид

где

Составим определитель Гурвица

Оценим устойчивость системы для следующих значений параметров:

.

При этих значениях для коэффициентов характеристического уравнения получим

Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны и

Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.

Определим критическое значение передаточного числа по углу тангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования.

В последнем выражении только d 3 и d 4 являются функциями коэффициента k и подставив их в него, получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента

Решив это уравнение, получим критическое значение передаточного числа по углу тангажа

Система устойчива, если k <16.56.

Критерий устойчивости Рауса.

Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.

Таблица Рауса

Элементы каждой строки для i >2 вычисляются по формуле

Для того, чтобы корни характеристического уравнения лежали в л е вой полуплоскости и система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были строго полож и тельны.

1.3 Частотные критерии устойчивости

Принцип аргумента.

Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.

Рассмотрим характеристическое уравнение системы

Если i , i =1,2,... n - корни этого уравнения, то

Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем i , проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s = j и получим

В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора ( j - i ) находиться на мнимой оси.

Аргумент вектора D ( j ) равен сумме аргументов элементарных векторов

Направление вращения вектора ( j - i ) против часовой стрелки при изменении частоты от - до + принято считать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от - до + каждый вектор ( j - i ), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол + , а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол - . Изменение аргумента вектора D ( j ) при этом будет

Это выражение и определяет принцип аргумента.

Изменение аргумента вектора D ( j ) при изменении частоты от - до + равно разности между числом ( n - m ) корней уравнения D ( s )=0 , лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой пол у плоскости, умноженной на .

Критерий устойчивости Михайлова.

Из (3.14) следует, что если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, т.е. m =0 , то

Отсюда следует первая формулировка критерия Михайлова.

Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от - до + изменение аргумента вектора D ( j ) будет равно n , где n - порядок характеристического уравнения.

Вектор D ( j ) можно представить в виде

Вещественная составляющая этого выражения является четной функцией, а мнимая - нечетной функцией частоты, т.е. U (- )= U ( ); V (- )= - V ( ) и D (- j )= U ( ) - jV ( ).

Отсюда следует, что кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси и при ее построении можно ограничиться диапазоном частот от 0 до + . Изменение аргумента вектора D ( j ) при этом уменьшится в два раза и формулировка критерия Михайлова будет следующей.

Система автоматического управления устойчива, если при возрастании частоты от 0 до + вектор D ( j ) повернется на угол n /2 или, что то же самое, если кривая Михайлова при том же изменении частоты, начиная с полож и тельной вещественной полуоси, обходит последовательно в положительном н а правлении n квадрантов и заканчивается в n -ом квадранте (рис.3.5).

Если хотя бы один квадрант пропущен (рис.3.6), то система неусто й чива.

Наблюдая за поведением кривой Михайлова для устойчивой САУ, можно заметить, что при ее прохождении через n квадрантов корни уравнений U ( )=0 и V ( )=0 чередуются между собой, т.е. между двумя корнями уравнения V ( )=0 лежит один корень уравнения U ( )=0.

Система автоматического управления устойчива, если корни уравнений V ( )=0 и U ( )=0 вещественные и перемежаются между собой.

Система может находиться на границе устойчивости и этому соответствуют два случая:

характеристическое уравнение системы имеет один нулевой корень, что будет при а n = 0 ; кривая Михайлова при этом выходит из начала координат;

2)характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней j k и D ( j k )= U ( k )+ jV ( k )=0, что может быть только если одновременно U ( k )=0 и V ( k )=0; это означает, что кривая Михайлова проходит через начало координат.

Рис. 3.5. Кривые Михайлова для Рис. 3.6. Кривая Михайлова для устойчивых САУ неустойчивой САУ

Используя критерий Михайлова, можно определить критические значения параметров системы, при которых она находиться на границе устойчивости, в частности критический коэффициент усиления. Для этого нужно решить систему уравнений

Пример. Используя критерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа k .

Характеристическое уравнение замкнутой системы было получено выше и имеет вид

Сделаем замену s = j и выделим вещественную и мнимую части

Построенная при заданных ранее параметрах системы кривая Михайлова имеет вид, показанный на рис.3.7.

Кривая начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте. Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.

Рис. 3.7. Кривая Михайлова для системы стабилизации угла тангажа

Для определения критического значения передаточного числа по углу тангажа составим систему уравнений

Из второго уравнения системы определяем частоту и подставив выражение для нее в первое уравнение, после преобразований получим квадратное уравнение относительно искомого значения передаточного числа

Полученное уравнение абсолютно идентично полученному при решении задачи по критерию Гурвица и результат таким же

Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка может быть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этих случаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U ( )=0 и V ( )=0. Определим корни этих уравнений и расположим их на числовой оси корни уравнения U ()=0

Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкн у той системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы имеют вид:

где D ( s )- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя к частотным представлениям, получим

Вектор N ( j ) называется вектором Найквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тот же порядок n . При использовании критерия Найквиста следует различать два случая.

1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение A ( s )=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от 0 до

Изменение аргумента вектора D ( j ) в общем случае равно

где m - число корней уравнения D ( s )=0, лежащих в правой полуплоскости. устойчивость частотный замкнутый неизменность

Изменение аргумента вектора Найквиста будет

Если замкнутая система устойчива, то m =0 и

Так как при , W ( j ) 0, то N ( j ) 1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до. Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1, j 0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W ( j ) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1, j 0).

Рис. 3.9. К определению критерия Найквиста

Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.

Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W ( j ) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j 0).

Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.

где полином A 1( s ) имеет все корни в левой полуплоскости. При =0 АФЧХ разомкнутой системы W ( j )= и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от - до + наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при =0 происходит бесконечный разрыв. При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.

Рис. 3.10. Годограф Найквиста для нейтрально- устойчивой САУ

При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону

где фаза ( ) изменяется от - / 2 до + / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим

где R при 0 , а фаза ( ) изменяется от + / 2 до - / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W ( j ) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.

Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W ( j ) разомкнутой си с темы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разом к нутом состоянии.

2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае

где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Если замкнутая система устойчива, т.е. m =0 , то

т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W ( j с ) разомкнутой системы при и з менении частоты от 0 до охватывает критическую точку (-1, j 0) в полож и тельном направлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой си с темы.

Определение числа охватов критической точки- непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.

Переход годографа W ( j ) через отрезок вещественной полуоси (- ,-1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх- отрицательным.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и о т рицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.

где число положительных переходов, число отрицательных переходов.

Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеет два неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 3.11.

Рис. 3.11. АФЧХ ракеты “Авангард”

Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления,

а и Замкнутая система будет устойчивой.

Запасы устойчивости.

Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа АФЧХ разомкнутой системы относительно критической точки. Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости. Для устойчивых систем удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точки принято оценивать запасами устойчивости по фазе и по модулю.

Допустим, что АФЧХ некоторой разомкнутой системы имеет вид, показанный на рис. 3.12.

Рис. 3.12. АФЧХ разомкнутой системы

Угол , образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, и отрицательной вещественной полуосью называется запасом усто й чивости системы по фазе.

(3.24)

Запасом устойчивост и по модулю называется величина

(3.25)

где А( )- значение АФЧХ при частоте = , при которой она пересекает вещественную ось.

Для всех систем должны выполняться требования:

Так как АФЧХ графически строится в определенном масштабе, то для вычисления запаса устойчивости по модулю можно просто измерить длины отрезков, соответствующих единице и ОВ, и разделить результат первого измерения на второй. Если увеличивать коэффициент усиления системы, то точка В будет смещаться влево и при ОВ=-1 коэффициент усиления примет критическое значение. Поэтому запас устойчивости по модулю можно определить и по формуле

Пример. Используя критерий Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы стабилизации угла тангажа и определить ее запасы устойчивости.

Передаточная функция разомкнутой системы была получена ранее и имеет вид

Численные значения коэффициентов заданы или вычислены ранее. Сделаем замену s = j :

После преобразований получим

Изменяя частоту от 0 до построим кривую АФЧХ - рис. 3.13. Проведя дугу окружности единичного радиуса, определим, что запас устойчивост по фазе =1100 . Для рассматриваемого примера получим, что h =3.3.

Рис. 3.13. АФЧХ системы стабилизации угла тангажа

Полученные запасы устойчивости удовлетворяют выше указанным требованиям.

Оценка устойчивости по ЛЧХ

АФЧХ разомкнутой системы подразделяются на два типа:

АФЧХ первого рода, все точки, пересечения которых с вещественной осью расположены справа от критической точки (кривая 1, рис. 3.14);

АФЧХ второго рода, точки, пересечения которых с вещественной осью расположены как справа, так и слева от критической точки (кривая 2, рис. 3.14).

В системах первого рода увеличение коэффициента усиления ведет к сдвигу ветви кривой влево и приближению ее к критической точке. Запасы устойчивости при этом уменьшаются и при k = k кр система попадает на границу устойчивости. Уменьшение коэффициента усиления стабилизирует систему. В системах 2-го рода переход системы на границу устойчивости может происходить как при увеличении коэффициента усиления, так и при его уменьшении. Из критерия Найквиста следует, что замкнутая система, имеющая в разомкнутом состоянии АФЧХ 1-го рода устойчива, если всем точкам АФЧХ, вплоть до точки пересечения ее с окружностью единичного радиуса ( = с) , соответствуют значения фазы ( ) , большие, чем - , т.е. должно выполняться неравенство с< . Этому определению легко дать интерпретацию на языке ЛЧХ.

Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ первого рода, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАХ п о ложительна, значения фазовой характеристики были больше, чем - , т.е. с< .

По ЛЧХ легко определяются и запасы устойчивости, причем запас устойчивости по усилению в логарифмическом масштабе должен удовлетворять условию Н >6дб , что соответствует значениям h >2.

Для того, чтобы САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ 2-го рода, была устойчивой в замкнутом состоянии, нео б ходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и о т рицательных переходов фазовой характеристикой через линию - была равна р/2, где р - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, при всех частотах когда L ( )>0.

Необходимо подчеркнуть, что показанные способы оценки устойчивости по ЛЧХ и определения запасов устойчивости справедливы при таком расположении оси ординат относительно фазовой характеристики, когда с началом координат совмещена точка ( )=-1800.

По ЛЧХ можно определить и критический коэффициент усиления. Для этого необходимо сместить ЛАХ вдоль линий сопряжения параллельно самой себе так, чтобы выполнить условие с = и вычислить коэффициент усиления для вновь полученной ЛАХ.

Определение критического коэффициента усиления для статической и астатической систем иллюстрируется рис. 3.17 а и 3.17б.

Пример. Построить ЛЧХ системы стабилизации угла тангажа и оценить ее устойчивость. Определить запасы устойчивости и рассчитать критическое значение передаточного числа по углу тангажа.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно привести к виду

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют значения:

Следовательно, После преобразований получим

Определим частоты сопряжения и разобьем сетку координат.

Построим ЛАХ системы, учитывая, что коэффициент усиления разомкнутой системы равен Так как относительный показатель затухания мал, то необходимо полученную ЛАХ уточнить в окрестности частоты сопряжения 03. Это можно сделать как по специальным графикам, так и расчетным путем по известной амплитудной частотной характеристике. АЧХ данной системы определяется выражением

Подставив несколько значений частоты в окрестности частоты сопряжения 03, получим значения АЧХ, рассчитаем значения ЛЧХ и построим уточняющую кривую. Фазовая частотная характеристика строится как сумма фазовых характеристик типовых звеньев, входящих в состав передаточной функции

где

Из графиков ЛЧХ следует, что с< и, следовательно, замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе =1080 . Для систем, в которые входят колебательные звенья с малым относительным коэффициентом затухания, запас устойчивости по модулю определяется в точке резонанса и в данном случае он равен 10дб, что соответствует значению h=3.16. Полученные значения запасов устойчивости незначительно отличаются от значений рассчитанных в соответствии с критериями Гурвица и Михайлова. В исследуемом случае критический коэффициент усиления определяется при касании L (р) оси частот. Перенесем ЛАХ параллельно самой себе так, чтобы в точке = р она касалась оси частот и продлим первую асимптоту до пересечения с осью частот. В этой точке k = =7.244, что соответствует значению (k )кр=16.74.

2. Выделение областей устойчивости

Среди физических параметров, характеризующих САУ, всегда имеется несколько, легко поддающихся изменению и использующихся для определенной настройки системы. При конструировании системы весьма важно знать диапазоны значений изменяемых параметров, допустимые с точки зрения сохранения устойчивости САУ. Об этих диапазонах можно судить, если в пространстве изменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить область значений параметров, при которых система сохраняет устойчивость.

Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D - областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D - разбиением.

Построение области устойчивости по алгебраическим критериям

Допустим, что коэффициенты характеристического уравнения

зависят от двух изменяемых параметров и . Для построения области устойчивости прежде всего нужно, в соответствии с необходимым условием устойчивости, выделить область изменяемых параметров при нахождении в которой, коэффициенты характеристического уравнения положительны. Это можно сделать, решив систему уравнений

Для построения границы положительности коэффициентов а i необходимо из решений уравнений (3.26) выбрать те, которые обеспечивают положительность всех коэффициентов. Из всех границ положительности только две одновременно могут быть и границами устойчивости. Такими являются границы, уравнениями которых являются

Доказано, что если d 0 и dn приблизятся к нулю, то характеристическое уравнение будет иметь два действительных корня

При дальнейшем уменьшении коэффициенты d 0 и dn перейдут через ноль, станут отрицательными, а корни (3.28) окажутся положительными. Так как вещественные корни определяют апериодические составляющие решения дифференциального уравнения, то границы (3.27) называют апериодическими границами устойчивости. На самих границах устойчивости корни (3.28) равны соответственно и 0. Стороны кривых, di ( , )=0, примыкающие к области положительности соответствующих коэффициентов, штрихуются в сторону положительности. Может случиться так, что какой либо из коэффициентов, d 0 или dn не зависит от изменяемых параметров. Это означает отсутствие соответствующей апериодической границы устойчивости.

Колебательной границей устойчивости называется кривая в плоскости изменяемых параметров, при переходе через которую пара комплексно - сопряженных корней изменяет знак своей вещественной части на обратный. Доказано, что колебательная граница устойчивости определяется выражением

(3.29)

В этом выражении n-1 - (n-1) - й определитель Гурвица. Колебательная граница устойчивости штрихуется в сторону положительности n-1.

Пример. Построить область устойчивости в плоскости параметров k и k z системы стабилизации угла тангажа.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Исследуем неравенства d 2>0, d 3>0, d 4>0 . Из первого неравенства следует, что для положительности коэффициента d 2 необходимо, чтобы выполнялось условие

Неравенство d 4>0 определяет, что для положительности этого коэффициента необходимо, чтобы k >0 . Для выполнения неравенства d 3>0 требуется, чтобы

При любых значениях передаточного числа по углу больших нуля, правая часть последнего выражения по модулю будет больше единицы. Таким образом, границами положительности коэффициентов будут

От изменяемых параметров зависит коэффициент dn = d 4 и не зависит коэффициент d 0. Поэтому уравнение k =0 одновременно является и апериодической границей устойчивости.

Составив определитель Гурвица, для его n-1 минора получим

Подставим в это выражение значения коэффициентов d 2, d 3, d 4, как функций параметров k и k , после преобразований получим квадратное уравнение, определяющее передаточное число по угловой скорости как функцию от передаточного числа по углу тангажа

По этому выражению строится колебательная граница устойчивости. График деления области исследуемых параметров на области устойчивости и неустойчивости показан на рис. 3.19.

Граница колебательной неустойчивости штрихуется в сторону положительности n-1- го определителя Гурвица, а прямая k z =0 в сторону положительности этого коэффициента. Для проверки полученных результатов выберем какие - либо значения параметров внутри заштрихованной области, например k =5, k z =0.6, вычислим значения коэффициентов характеристического уравнения и оценим устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица. Получим, что при выбранных значениях передаточных чисел система устойчива. Это означает, что и вся область, внутрь которой обращены штрихи, является областью устойчивости.

D - разбиение в плоскости одного параметра

Пусть нас интересует влияние какого - либо одного параметра на устойчивость САУ и этот параметр входит в характеристическое уравнение линейно, так что это уравнение можно представить в виде

Сделав замену s = j , получим

Задавая значения частоты от - до +, можно построить кривую ( ) , отображающую мнимую ось плоскости корней на плоскость . Эта граница D - разбиения симметрична относительно вещественной оси. Поэтому вычисления можно вести в диапазоне частот от 0 до +, а затем дополнить полученную кривую ее зеркальным отображением на диапазон частот от - до нуля. При движении по мнимой оси от - до + на плоскости корней область устойчивости остается слева.

Поэтому при движении по кривой D - разбиения в сторону увеличения частоты ее штрихуют слева. Область, внутрь которой обращены штрихи, является предполагаемой областью устойчивости. Для окончательного решения, необходимо взять какое - либо вещественное значение параметра в исследуемой области и воспользоваться каким - либо критерием устойчивости. Если при избранном значении параметра система устойчива, то рассматриваемая область является областью устойчивости.

Пример. Построить область устойчивости системы стабилизации угла тангажа в плоскости передаточного числа k .

Характеристическое уравнение исследуемой системы можно записать в виде

В полученных выражения сделаем замену s = j и получим

В этих выражениях

Так как необходимым условием устойчивости рассматриваемой системы является k >0, то мнимая ось также является границей устойчивости и штрихуется в сторону положительности k . Значение этого коэффициента, равное 5, находится внутри заштрихованной области и мы знаем, что при этом значении система устойчива. Значит и весь отрезок вещественной оси, расположенный внутри заштрихованной области, дает значения передаточного числа по углу, при которых система устойчива. Можно показать, что окончание этого отрезка находиться в точке, равной критическому значению коэффициента k =16.56.

D - разбиение в плоскости двух параметров

Пусть коэффициенты характеристического уравнения линейно зависят от двух параметров и так, что его можно записать в виде

После замены s = j получим

Так как равенство нулю всего преобразованного характеристического уравнения может выполняться только, если одновременно равны нулю его вещественная и мнимая части, то получим систему уравнений относительно изменяемых параметров

Разрешив систему (3.33) относительно и , получим

Задавая значения частоты от - до +, определим совокупность точек на плоскости - , образующих кривую D - разбиения. Функции ( ) и ( ) являются четными, и поэтому, при изменении частоты в указанных выше пределах, кривая D - разбиения пробегается дважды. При построении кривой D - разбиения в плоскости двух параметров необходимо руководствоваться следующими правилами :

1) если в системе (3.33) первое уравнение получено из вещественных частей, а второе - из мнимых частей функций P ( j ), Q ( j ) и S ( j ) и если параметр по написанию стоит первым, а - вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось является осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось - осью ординат с отсчетом положительных значений вверх;

2)двигаясь по кривой D - разбиения при изменении частоты в сторону увеличения, ее штрихуют слева, если ( )>0, и справа, если ( )<0 ; в результате кривая штрихуется дважды с одной стороны, так как на концах кривой при =0 и = знак главного определителя ( ) изменяется.

Может быть случай, когда при = * 0, одновременно ( *)= = ( *)= ( *)=0. Тогда система (3.33) становится линейно - зависимой и ее уравнения отличаются друг от друга только на постоянный множитель. В этом случае эта система сводится к одному уравнению, определяющему на плоскости - прямую линию, которая называется особой прямой. Если особая прямая пересекает кривую D - разбиения в точке = * и в этой точке определитель ( ) меняет знак, то эта прямая также является границей устойчивости и в указанной точке изменяется направление штриховки кривой и особой прямой. Если при = * изменение знака главного определителя не происходит, то штриховка на особую прямую не наносится. Если свободный член характеристического уравнения dn = dn ( , ) , то это соответствует существованию особой прямой для =0 и ее уравнение будет

Подобные документы

Оценка устойчивости системы автоматического регулирования по критериям устойчивости Найквиста, Михайлова, Гурвица (Рауса-Гурвица). Составление матрицы главного определителя для определения устойчивости системы. Листинг программы и анализ результатов.

лабораторная работа , добавлен 06.06.2016


Частотные показатели качества системы автоматического управления в переходном режиме. Полный анализ устойчивости и качества управления для разомкнутой и замкнутой систем с помощью критериев Гурвица и Найквиста, программных продуктов Matlab, MatCad.

курсовая работа , добавлен 18.06.2011


Устойчивость как свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия. Характер решения при различных значениях корней уравнения. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица, Найквиста, Михайлова, определение его областей.

реферат , добавлен 15.08.2009


Рассмотрение основ передаточной функции замкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Описание нахождения характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии. Алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Михайлова.

контрольная работа , добавлен 28.04.2014


Системы автоматического регулирования (САР), их виды и элементарные звенья. Алгебраические и графические критерии устойчивости систем. Частотные характеристики динамических звеньев и САР. Оценка качества регулирования, коррекция автоматических систем.

курсовая работа , добавлен 16.02.2013


Передаточная функция разомкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы. Критерий устойчивости Гурвица. Анализ переходного процесса при подаче ступенчатого воздействия.

курсовая работа , добавлен 18.10.2012


Алгебраические и частотные критерии устойчивости. Порядок характеристического комплекса. Годографы частотной передаточной функции разомкнутой системы. Определение устойчивости с помощью ЛАЧХ разомкнутой системы. Абсолютно и условно устойчивые системы.

реферат , добавлен 21.01.2009


Анализ исходной системы автоматического управления, определение передаточной функции и коэффициентов. Анализ устойчивости исходной системы с помощью критериев Рауса, Найквиста. Синтез корректирующих устройств и анализ синтезированных систем управления.

курсовая работа , добавлен 19.04.2011


Поиск передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем, замкнутой системы по ошибке и возмущению. Точность отработки входных воздействий. Устойчивость по критерию Гурвица. Выбор регулятора и уточнение его параметров. Значения динамических показателей.

контрольная работа , добавлен 04.03.2014


Проведение анализа замкнутой системы на устойчивость. Определение передаточной функции разомкнутой системы и амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления. Применение для анализа критериев Гурвица, Михайлова и Найквиста.